Плоская задача теории упругости

Нижегородский государственный

архитектурно-строительный университет.

Кафедра сопротивления материалов и теории упругости.

Расчетно-проектировочная работа

Плоская задача теории упругости

Выполнил:                                                                                     Студент гр. 163 А.В.Троханов

Проверила:                                                                                                      Т.П. Виноградова                                                                                              

Н.Новгород 2002 г.

Из тела находящегося в плоском напряженном состоянии, выделена пластина, толщина которой  1 см, размеры в плане 20х20 см.

Схема закрепления пластины.

Задаваясь функцией напряжений, общий вид которой

Ф (х,у)=а1х3у+а2х3+а3х2у+а4х2+а5ху+а6у2+а7ху2+а8у3+а9ху3

Принять два коэффициента функции согласно таблиц 1 и 2, остальные шесть коэффициентов принять равными нулю. В этих же таблицах даны значения модуля упругости Е и коэффициента Пуассона для материала пластины.

Найти общие выражения для напряжений sх, sу, tху (объемные силы не учитывать) и построить эпюры этих напряжений для контура пластины.

Определить выражения для перемещений U и V. Показать графически(на миллиметровке) перемещение пластины в результате деформирования, определив компоненты перемещений U и V в девяти точках, указанных на схеме. Для наглядности изображения для перемещений выбрать более крупный масштаб, чем масштаб длин. Значение U и V свести в таблицу.

Расчет.

Дано: а3=1/3, а4= 1

          Е=0,69*106 кг/см2

          n=0,33

Решение:

1.Проверим, удовлетворяет ли функция напряжений бигармоническому уравнению.

Ф(х,у)= 

Поскольку производные

-бигармоническое уравнение удовлетворяется.

2.Определяем компоненты по формулам Эри, принимая объемные силы равными нулю.

sх=

sу=

tху=

3.Строим эпюры напряжений для контура пластины согласно полученным аналитическим напряжениям.

4.Проверяем равновесие пластины

Уравненения равновесия:

Sх=0     -Т5+Т6=0 > 0=0

Sy=0     Т4+Т3+Т2-Т1-N2+N1=0 > 0=0

SM=0    M (T4T3)=-M(T2T1) > 0=0

удовлетворяется, т.е. пластина находится в равновесии.

5.Для точки А с координатами (5,-5) найти величины главных напряжений и положение главных осей для точки А.

В этой точке напряжения в основных площадках. sх=0,  sу=-1,33,  tху=3,33, 

Найдем главное напряжение по формуле:

=-0,665±3,396  кгс/см2  

smax=sI=2,731 МПа

smin=sII= -4,061 МПа

Находим направление главных осей.

     aI=39,36o

     aII=-50,64o

6.Определяем компоненты деформации

7.Находим компоненты перемещений

Интегрируем полученные выражения

j(у), y(х) –некоторые функции интегрирования

или

После интегрирования получим

где с1 и с2 – постоянные интегрирования

С учетом получения выражений для j(у) и y(х) компоненты перемещений имеет вид

Постоянные с1, с2, и с определяем из условий закрепления пластины:

1)  v           =0           или           

2)     v          =0            или           

3)     u          =0            или           

Окончательные выражения для функций перемещений u и v

Покажем деформированное состояние пластины определив для этого перемещение в 9-ти точках.