Основы гидрогазодинамики

Экзаменационные вопросы по курсу «Гидрогазодинамика»

1. Силы, действующие в жидкости

2. Методы изучения движения жидкости

3. Траектория, линия тока, трубка тока, струя

4. Градиент, дивергенция, циркуляция, вихрь

5. Основная теорема кинематики (первая теорема Гельмгольца)

6. Тензор скоростей деформации

7. Уравнение сплошности

8. Нормальное и касательное напряжение, действующие в движущейся жидкости

9. Уравнение движения сплошной среды в напряжениях

10. Напряжения, действующие в идеальной жидкости

11. Уравнение движения идеальной жидкости (Эйлера)

12. Уравнение движения идеальной жидкости (Эйлера) в форме Громека

13. Теорема Бернулли

14. Основные понятия и определения потенциальных течений

15. Комплексный потенциал, комплексная скорость

16. Частные случаи плоских потенциальных течений

17. Безциркуляционное обтекание круглого цилиндра

18. Обобщенный закон Ньютона

19. Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (Навье-Стокса)

20. Подобие гидродинамических явлений

21. Критериальные уравнения. Критерии и числа подобия

22. Моделирование ГГД явлений

23. Ламинарное и турбулентное движение

24. Пограничный слой и его характерные толщины

25. Переход ламинарного ПС в турбулентный

1. Силы, действующие в жидкости

В жидкостях могут существовать только распределенные силы: массовые (объемные) и поверхностные.

1) Массовые силы действуют на каждую точку выделенного объема τ и пропорциональны массе частиц. Например, сила тяжести, центробежное ускорение, сила электростатического напряжения, сила Кориолиса и т.д.

Массовые силы характеризуются вектором плотности массовых сил:

 ,

который представляет собой предел отношения главного вектора массовых сил к массе частицы при стремлении массы к нулю.

В проекциях на координатные оси он может быть записан:

X, Y, Z – проекции  на координатные оси.

2) Поверхностные силы характеризуются напряжениями:

- это предел отношения главного вектора поверхностной силы, приложенного к  и величине этой площадки при стремлении ее к нулю. Величина напряжения зависит от выбора направления площадки.

- нормальное напряжение

 - касательное напряжение

2. Методы изучения движения жидкости

Существует два метода изучения движения жидкости: метод Эйлера и метод Лагранжа.

1. Метод Лагранжа: выделяется частица в движущейся жидкости и исследуется ее траектория в зависимости от координат и времени.

(1)                         (2)

a, b, c – это постоянные, которые определяют положение точки в начальный момент времени.

2. Метод Эйлера: задается метод распределения скорости в потоке в зависимости от координат и времени:

(3)

x, y, z –переменные Эйлера.

Чтобы определить скорости в какой-либо точке надо задать ее координаты. Поле ускорений потока можно получить если продифференцировать систему (3):

Получили систему, описывающую поле ускорений.

Локальные ускорения, показывающие как изменяется скорость в какой-либо точке потока с течением времени ().

Конвективные ускорения (все остальное в правой части), связанные с перемещением точки или среды (т.е. с конвекцией). Течение может быть стационарным или нестационарным (изменяется во времени). Для стационарных задач локальные ускорения равны нулю. Самые простые течения стационарные, плоские и одномерные. Для стационарной и плоской задачи исследуется течение только по двум координатам. Еслирассматривается одномерная стационарная задача, тогда:

3. Траектория, линия тока, трубка тока, струя

Траектория – это линия, изображающая путь пройденный частицей за определенный промежуток времени.

Линия тока – это мгновенная векторная линия, в каждой точке которой в данный момент времени касательная по направлению совпадает с вектором скорости.

В стационарных задачах линии тока и траектории совпадают, т.к. нормальная составляющая скорости к линии тока равна нулю, жидкость через линию тока не перетекает. В плоских течениях количество жидкости между двумя линиями тока в любых сечениях будет одинаково. Если линии тока приближаются, то скорость потока увеличивается, и наоборот. Через каждую точку в потоке можно провести только одну линию тока, исключение составляют особые точки: критические точки. А и В – это критические точки. Поверхность непроницаемого тела – поверхность тока, а линии тока, расположенные на поверхности называется нулевыми линиями тока.

Если в жидкости провести замкнутый контур и через каждую точку провести линию тока, получим поверхность тока. Жидкость внутри поверхности называется трубкой тока. Через поверхность тока жидкость не перетекает, следовательно через каждое сечение трубки тока проходит одно и то же количество жидкости. Если через каждую точку контура провести траекторию, то часть жидкости, которая ограничена поверхностью траектории называется струей. Струя совпадает с трубкой тока в стационарном течении.

4. Градиент, дивергенция, циркуляция, вихрь

1. Градиент.

Рассмотрим действие векторного оператора Гамильтона на скалярную функцию φ. Скалярная величина – это параметр, которому нельзя придать направление.

Градиент скалярной функции – это вектор направленный по нормали к линии постоянного значения в сторону возрастания функции и модуль его равен частной производной от функции по направлению указанной нормали.

2. Дивергенция.

Рассмотрим скалярное умножение векторного оператора и двух величин скорости:

Дивергенция является скалярной величиной, показывает расхождение вектора скорости, определяет закон относительного изменения объема. Например, если течение стационарное и жидкость несжимаемая, то при  в жидкости отсутствуют источники или стоки. При  имеется источник, при  имеется сток. Уравнение  часто используется для замыкания системы уравнений движения несжимаемой жидкости и является уравнением сплошности.

3. Циркуляция.

Характеризует интенсивность вращательного движения жидкости.

Вычисляется, например, по контуру АВ:

- элемент контура АВ

4. Вихрь вектора скорости.

Рассмотрим векторное произведение оператора на вектор скорости:

Рассмотрим вращение точки вокруг оси, проходящей через начало координат с угловой скоростью .

Если в жидкости , это указывает на наличие вращающихся объемов, вихрей жидкости. Интерес представляют течения для которых , такие течения называются безвихревыми или потенциальными,. Т.к. в этом случает существует потенциал вектора скорости φ, который связан с составляющими вектора скорости следующими соотношениями:

; ; ;

5. Основная теорема кинематики (первая теорема Гельмгольца)

Из теоретической механики известно, что скорость движения любой точки твердого тела складывается из поступательного вместе с некоторым полюсом и вращательного движения вокруг оси, проходящей через этот полюс: . Для жидкой частицы основная теорема кинематики гласит, что скорость движения любой точки жидкой частицы складывается из скорости квазитвердого движения и деформационного. Квазитвердое состоит из поступательного вращательного: . Для доказательства рассмотрим движение точки М с координатами x, y, z, которая находится в окрестности точки М0 (x0, y0, z0) и составляющая для точки М0 скорости (u0, υ0, w0), тогда раскладывая функцию скорости в ряд Тейлора и сохраняя компоненты первого порядка малости, составляющие скорости для точки М можно записать:

Преобразуем первое уравнение. Для этого разноименные части представим следующим образом:

;

- первая теорема Гельмгольца квазитвердое движение деформационное движение

6. Тензор скоростей деформации

Компоненты , входящие в скорость деформации, могут быть представлены в виде матрицы, которая называется тензором скоростей деформации:

 - диагональные компоненты.

Тензор симметричен относительно главной диагонали

Рассмотрим диагональные компоненты. В жидкости выделим отрезок АВ длиной dx (отрезок на оси х). Рассмотрим перемещение отрезка вдоль оси х. Скорости в точках А и В не равны. Через время dt отрезок займет положение . Произошла линейная деформация отрезка АВ на величину:

Если разделим линейную деформацию на длину отрезка:

скорость линейной деформации – скорость растяжения или сжатия линейного отрезка расположенного на оси х в направлении оси х. Аналогично:

скорости относительных линейных деформаций вдоль соответствующих осей. Сумма диагональных компонент определяет дивергенцию вектора скорости, т.е.

закон относительного изменения объема.

Рассмотрим перемещение отрезка АВ расположенного на оси х и длиной dx в направлении оси dy).

Ввиду малости угла

угловая деформация линейного отрезка в направлении оси у.

скорость угловой деформации или скорость скашивания в направлении оси у. Если отрезок расположить на оси у, то  - скорость скашивания в направлении оси х. - средняя скорость угловой деформации в плоскости ху.

Таким образом недиагональные компоненты характеризуют скорости скашивания или угловых деформаций в соответствующих плоскостях.

7. Уравнение сплошности

Уравнение сплошности – это уравнение закона сохранения массы:

Выделим в жидкости элементарный объем  с плотностью ρ.

Следовательно:

Второй член полученного уравнения выражает закон относительного изменения объема,. Т.е. дивергенцию.

Плотность в общем случае зависит от координат и времени:

Поэтому:

уравнение сплошности (неразрывности).

Если течение стационарное, то уравнение упрощается:

Если жидкость несжимаемая, т.е. , то

8. Нормальное и касательное напряжение, действующие в движущейся жидкости

Закон сохранения количества движения для неизолированной системы может быть записан в виде:

где  - главный вектор количества движения системы

 - главный вектор внешних сил, действующих на систему

В жидкости выделим элементарный тетраэдр с гранями , , , . Индекс показывает перпендикулярно какой оси расположены грани,  - наклонная грань. К граням приложены соответствующие напряжения , , ,  (не перпендикулярные граням). Масса тетраэдра . На тетраэдр действуют массовые и поверхностные силы. Массовые характеризуются вектором плотности , поверхностные – напряжениями.

 - скорость центра инерции тетраэдра

 - третий порядок малости

 - второй порядок малости

Членами третьего порядка малости пренебрегаем.

 и т.д.

            пх

Получим связь напряжений, действующих на грани выделенного тетраэдра:

В проекциях на координатные оси это уравнение может быть переписано:

В записанной системе  называются нормальными напряжениями, а  и т.д. называются касательными напряжениями. Все напряжения могут быть записаны в матричной форме в виде симметричного тензора напряжений:

Первый индекс определяет ось, относительно которой расположена грань, второй – ось на которую проецируется напряжение.

9. Уравнение движения сплошной среды в напряжениях

Рассмотрим элементарный параллелепипед с ребрами . Объем его . На него действуют массовые и поверхностные силы определяемые главным вектором внешних сил . К параллелепипеду применим закон сохранения количества движения:

Для определения главного вектора поверхностных сил рассмотрим все силы, дающие проекцию на ось х. Для граней перпендикулярных х проекцию дают только силы, создаваемые нормальными напряжениями. Поэтому равнодействующая этих сил равна:

Аналогично для граней перпендикулярных z получим равнодействующую равную:

Равнодействующая поверхностных сил в проекции на ось х равна:

Тогда закон сохранения количества движения в проекции на х можно записать:

Полученная система называется системой уравнений движения сплошной среды в напряжениях. В левой части стоит полная производная от скоростей, которые могут быть расписаны через локальные и конвективные составляющие ускорения. При определенных условиях левая часть значительно упрощается (стационарное, двухмерное или одномерное течение).

Т.к.

систему можно записать в виде одного уравнения в векторной форме записи:

10. Напряжения, действующие в идеальной жидкости

В идеальной жидкости отсутствуют силы трения, следовательно касательные напряжения равны нулю. Применительно к элементарному тетраэдру проекция напряжения, приложенного к произвольной наклонной грани на ось х равна:

С другой стороны:

Аналогично для проекций на у:

 и

Таким образом в идеальной жидкости величина нормального напряжения в любой точке не зависит от направления площадки к которой напряжение приложено. В идеальной жидкости величина нормального напряжения в точке называется гидродинамическим давлением в этой точке. Модель идеальной жидкости упростила постановку и решение многих задач, в которых влиянием сил трения можно пренебречь.

Знак «минус» ставится, т.к. жидкость оказывает давление на выделенный объем в направлении противоположном внешней нормали.

11. Уравнение движения идеальной жидкости (Эйлера)

Для вывода воспользуемся уравнениями движения в напряжениях:

 - система уравнения Эйлера для идеальной жидкости.

Справедлива, как для сжимаемой, так и для несжимаемой жидкости. Если жидкость сжимаемая, то необходимо ввести функцию координаты от времени:  

Если жидкость несжимаемая, то

12. Уравнение движения идеальной жидкости (Эйлера) в форме Громека

Все преобразования выполним на первом уравнении:

Отсюда:

- система уравнений движения для и.ж. в форме Громека

Рассмотрим далее движение, предполагая, что массовая сила имеет потенциал и течение баротропное.

Первое предположение утверждает, что у массовых сил имеется потенциал, связанный соотношениями с массовыми силами:

; ; ,

U - потенциал массовых сил.

Второе: баротропным считается течение, у которого ρ считается только функцией давления.

Например, баротропными течением является:

1)                ρ=const – газ или жидкость несжимаемы

2)                движение среды изотермическое -

Страницы: 1, 2, 3