Определение нагрузок на цилиндрические конструкции в потоке

Цилиндрические конструкции подверженные ветровым нагрузкам колеблются в поперечном направлении (перпендикулярно направлению ветра) из-за образования вихрей на боковых к ветру сторонах. Результатом является образование вихревой дорожки называемой дорожкой Кармана. В определенном диапазоне скоростей ветра и диаметров поперечного сечения цилиндрических конструкций образование и сход вихрей происходят с постоянным периодом по времени, следовательно на конструкцию действует периодическая возбуждающая колебания сила. Когда частота схода вихрей приближается к одной из собственных частот конструкции возникают резонансные колебания. Из за изменения скорости ветра и возникновения порывов ветра появляются колебания по направлению ветра но основной интерес представляют именно поперечные к ветры колебания. Амплитуда резонансных колебаний будет возрастать до тех пор пока энергия, рассеиваемая в результате демпфирования не будет равна энергии поставляемой потоком воздуха. Таким образом конструкции обладающие слабым демпфированием в большей степени подвержены данному эффекту.
Процесс образования вихрей на боковых по ветру поверхностях цилиндрических конструкций зависит от чисел Рейнольдса Re. При очень малых числах Рейнольдса течение в непосредственной близости к поверхности цилиндра будет мало отличаться от идеального течения и образования вихрей не будет. При несколько больших значениях (до Re = 40) течение отрывается от поверхности и образует два симметричных вихря. Выше Re = 40 симметрия вихрей разрушается и происходит зарождение асимметрического схода вихрей с противоположных сторон. Диапазон от Re = 150 до 300 является переходным, в нем течение меняется от ламинарного к турбулентному в области свободных вихрей сорвавшихся с поверхности цилиндрической конструкции. В этом диапазоне вихревой след периодичен, но скорость вблизи поверхности меняется не периодично из-за турбулентности течения. Апериодичность изменения скорости аргументируется турбулентностью природного ветра. Результатом таких флуктуаций является то, что амплитуды подъемной или боковой силы являются в некоторой степени случайными, эта случайность становится более выраженной с увеличением числа Рейнольдса.
Периодичность вихревого следа характерна для диапазона от Re = 40 до
3*105. При больших числах Рейнольдса течение в пограничном слое на передней к ветру поверхности изменяется от ламинарного к турбулентному и точка отрыва вихрей смещается назад по потоку. В результате резко падает коэффициент лобового сопротивления и след становится более узким и, вероятно, апериодичным. Следовательно частота схода вихрей и амплитуда подъемной силы становятся случайными.
Частота, с которой вихри отделяются от поверхности цилиндрической конструкции, обычно характеризуется безразмерной величиной называемой числом Струхаля Sh:

[pic]

где n – частота отделения вихрей, d – характерный размер, V – скорость ветра. Когда сход вихрей является периодичным, n – частота этого схода, если же сход является случайным необходимо говорить об энергетическом спектре, а не об одной частоте.
Спектральная плотность боковой силы (цилиндр). Нормализованная спектральная плотность подъемной силы

[pic]

по аргументу [pic]; [pic]

[pic]

Если использовать Кармановскую спектральную плотность и потребовать выполнения условия =Ёормировки , то

[pic]

[pic]

[pic]

n – частота на графиках в герцах.
[pic] для больших чисел Re (по Фыну).

В связи с тем, что [pic] задается по частоте в [Гц], в выражении [pic] после определения передаточной функции нужно перейти к частоте в [Гц]; в формулу входит [pic].

Основные допущения и уравнение поперечных колебаний прямого стержня. При выводе уравнений поперечного колебания мы будем предполагать, что в недеформированном состоянии упругая ось стержня прямолинейна и совпадает с линией центров тяжести поперечных сечений стержня. Эту прямолинейную ось мы примем за координатную ось z и от нее будем отсчитывать отклонения элементов стержня при поперечных колебаниях. При этом будем считать, что отклонение отдельных точек оси стержня происходят перпендикулярно к прямолинейному, недеформированному ее направлению, пренебрегая смещениями этих точек, параллельными оси.
Далее, мы предполагаем, что отклонения точек оси стержня при поперечных колебаниях происходят в одной плоскости и являются малыми отклонениями в том смысле, что возникающие при этом восстанавливающие силы остаются в пределах пропорциональности.
При таких предположениях отклонения точек оси стержня при поперечных колебаниях однозначно определяются одной функцией двух переменных – координаты z и времени t:

[pic].
Эта функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению в частных производных четвертого порядка, которое может быть построено следующим образом.
Обозначим через m(z) массу единицы длины стержня (кг*сек2/см2), через EJ
– жесткость на прогиб [ E (кг/см2) – модуль упругости, J (см4) – момент инерции поперечного сечения стержня относительно поперечной оси. На стержень действует распределенная поперечная нагрузка, интенсивность которой мы обозначим через [pic].
Кинетическая энергия колеблющегося стержня есть кинетическая энергия поперечных смещений элементов стержня

[pic].
Потенциальная энергия равна сумме двух слагаемых: а) потенциальной энергии упругой деформации (работа восстанавливающих упругих сил)

[pic]; б) потенциальная энергия прогиба от поперечной нагрузки [pic]

[pic].

Функционал S Остроградского – Гамильтона имеет здесь вид

[pic]
Уравнение поперечных колебаний стержня мы получим, составив для функционала S уравнение Эйлера:

.

[pic]
Решение задачи о свободных колебаниях консольно защемленной балки

[pic] с граничными условиями при z = 0:

[pic] консольное защемление при [pic]:

[pic] отсутствие перерезывающих сил и моментов на свободном конце; будет иметь вид:

[pic]

[pic]- для первого тона.

[pic] (1)

примем [pic] (Метод Бубнова-Галеркина)

[pic]
[pic]

[pic]

Тогда: [pic] где [pic]- собственная частота I-ого тона.
Здесь нет демпфирования, введем искусственно конструкционное демпфирование
(как логарифмический декремент, равен 0,005).

[pic]
[pic]

[pic]

[pic] [pic]- случайная функция

[pic][pic]

[pic]

[pic] [pic]

В выражении [pic] величину [pic]

[pic];

[pic]

[pic] [pic]

[pic][pic]

[pic]

Интегрирование от 0 до 100
В величину [pic] частота входит в герцах, поэтому
[pic]
[pic]

Веса единицы объема кожуха(сталь) [pic] и футеровки [pic]
Средняя площадь футеровки [pic] и кожуха тубы [pic]
Погонная масса трубы [pic]
Аппроксимация формы [pic] при [pic], [pic], тогда [pic];
[pic]
[pic]
Тогда [pic]
[pic]

[pic]
[pic]
Независимость q от нормировки f(z) связана с тем, что линейное дифференциальное уравнение для q зависит от правой части, знаменатель зависит от второй степени, а числитель от первой степени f(z), т.е.
[pic] (чем больше f(l), тем меньше q при [pic])

[pic]
[pic]

[pic]
[pic]
Тогда [pic]

Уравнение для q будет иметь вид:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]