Общее количество энергии на деформацию определяется по теоретической формуле П.И. Полухина:

,

где  и  - радиус заготовки до прошивки и радиус гильзы;  - толщина стенки гильзы;  - сопротивление металла деформированию, рассчитывается по эмпирической формуле

,

 - сопротивление деформации, выбираемое по величине среднего единичного обжатия;  - обжатие в пережиме.

Теплота, поступающая в металл при трении, рассчитывается по формуле:

,

в которой  - коэффициент, учитывающий долю теплоты, поступающей на оправку от трения;  - плотность теплового потока за счет работы сил трения;  - коэффициент контакта;  - площадь поверхности металла под оправкой;  - время прошивки.

Тепловые потери металла в очаге деформации за время прошивки составляют величину:

,

где ,  и  - площади поверхностей контакта металла с валками, линейками и окружающей средой; , , ,  - плотности тепловых потоков;  - плотность потока тепловых потерь в окружающую среду;  и  - плотности потоков тепловых потерь к валкам и линейкам рассчитываются при допущении квазистационарного режима теплопроводности с учетом температурного сопротивления слоя окалины:

,

где  и  - температура валков и линеек в стационарном режиме работы.

Кондуктивный теплообмен между металлом и оправкой через слой окалины в месте контакта или через воздушный зазор, в первом приближении, рассчитывается при допущении квазистационарного режима теплообмена.

Через слой окалины:

;

через воздушный зазор:

,

где  - средняя температура металла при прошивке;  - температура поверхности оправки; ,  - толщина приграничного слоя металла и оправки; ,  - толщина окалины и воздушной прослойки; , , ,  - коэффициенты теплопроводности деформируемого металла, оправки, окалины и воздуха соответственно.

Плотность лучистого теплового потока в воздушном зазоре находится при допущении равенства поверхностей, расположенных по обе стороны зазора. Учитывая, что воздух является диатермичной средой, получим

,

где  - постоянная Стефана - Больцмана;  - приведенная степень черноты. Плотность теплового потока, выделяемого при работе сил трения, определяется по формуле:

,

где  - касательное напряжение трения;  - скорость перемещения металла вдоль оси оправки (оси Oz).

Касательное напряжение трения рассчитывается по формуле

,

в которой  - коэффициент трения; Р - сила нормального давления на оправку.

Для конических оправок различных геометрических размеров значения давлений, сохраняются на носке, в конце сферической части, в пережиме и в конце третьего участка.

Скорость течения металла в рассматриваемом расчетном сечении находится из уравнения неразрывности, которое при некотором допущении имеет вид:

,

где  - средняя скорость перемещения металла в сечении  между валком и оправкой;  - скорость движения гильзы на выходе из зазора. Скорость выхода гильзы определена экспериментально в зависимости от угла подачи .

Величина деформационного разогрева  зависит не только от величины внутренних тепловыделений при деформации, но и от интенсивности теплообмена с окружающей средой и технологическим инструментом, поэтому для ее определения необходимо применить метод итераций. В качестве первого приближения  рассчитывается при допущении равенства нулю тепловых потоков  и .

Условия на границе металл - окалина.

Окалинообразующий слой очень существенно влияет на температурное поле оправки. Теплофизические свойства окалины характеризуются коэффициентом теплопроводности окалины . На границе металл-окалина за счет действия сил трения происходит выделение теплоты. Между слоем окалины и оправкой происходит кондуктивный теплообмен (теплопроводностью). Между слоем окалины и металлом осуществляется как кондуктивный теплообмен, так и лучистый теплообмен через воздушную среду, заполняющую прослойку. При этом воздух считается диатермической средой, то есть прозрачной для лучистой энергии. Теплофизические свойства воздуха характеризуются коэффициентом теплопроводности воздуха .

Начальные (временные) условия.

Рассматриваемый процесс является нестационарным, то есть в уравнения входит время в качестве переменной. Для такого процесса необходимы начальные условия, которые состоят в задании закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени.

При первой прошивке начальное поле температур задается равномерным и равным температуре окружающей среды :

.

При охлаждении оправки в качестве начального условия принимается температурное поле, полученное в конце нагрева оправки (в конце прошивки):

.

Для второго и последующих циклов нагрева и охлаждения за начальное условие также принимается температурное поле предыдущего процесса теплообмена.

Граничные условия (на границе в нерегулярных узлах).

Применяются условия второго рода (условия Неймана): на поверхности задается плотность теплового потока как функция от температуры и координаты .

Граничные условия на границе металл - оправка при нагреве.

Граничные условия в области раздела деформируемый металл - оправка задаются через плотность теплового потока с учетом теплоты, выделяемой при работе сил трения и температурного сопротивления слоя окалины:

;

,

где  - плотность кондуктивного теплового потока в системе металл - окалина - заготовка;

 - плотность кондуктивного теплового потока в системе металл - воздух - оправка;

 - плотность лучистого теплового потока от металла к оправке в воздушном зазоре;

 - коэффициент контакта, равный отношению площади контакта ко всей площади поверхности оправки в данном сечении и определяемый экспериментально (в нашем случае на I участке , на II участке 0 <  < 1 (), а на III и IV участках - );  - плотность теплового потока за счет сил трения;  - коэффициент, учитывающий долю теплоты, поступающей на оправку

.

Граничные условия при охлаждении оправки (граничные условия третьего рода).

При расчете охлаждения оправки между прошивками применяются граничные условия третьего рода (используется температура окружающей среды  и коэффициент теплоотдачи ):

.

 - плотность теплового потока с поверхности оправки при охлаждении, которая рассчитывается в зависимости от условий охлаждения. Например, при охлаждении на воздухе:

,

где  - коэффициент теплоотдачи свободной конвекцией;  - температура поверхности оправки;  - температура охлаждающей среды (в данном случае воздуха).

При интенсивном охлаждении оправки

.

В этом случае  - коэффициент теплоотдачи при вынужденной конвекции от поверхности оправки к потоку охладителя. Расчет коэффициента теплоотдачи выполняется по известным критериальным зависимостям.

Граничные условия на четвертом участке.

Граничные условия вдоль оси Oz на четвертом участке задаются при допущении отсутствия теплообмена на этой границе:

.

2.2 Математическая формулировка задачи расчета температурного поля оправки

В общем виде уравнение теплопроводности записывается так:

,

где  - температура,  - теплоемкость удельная массовая теплоемкость,  - коэффициент теплопроводности и  - плотность источников тепла.

Поскольку внутренних источников тепла нет, то уравнение записывается так:

.

Поскольку прошивная оправка представляет собой тело вращения, то удобно использовать цилиндрическую систему координат. На первом участке для повышения точности решения применена сферическая система координат. Уравнение теплопроводности для сферической системы координат (участок I):

.

Для цилиндрической системы координат (участки II, III и IV):

.

В уравнениях  - цилиндрические координаты;  - сферические координаты;  - температура;  - время;  - удельная объемная теплоемкость;  - плотность материала оправки;  - удельная массовая теплоемкость.

Для центра сферы уравнение теплопроводности записывается следующим образом:

.

Для оси центра:

.

Для выделения единственного решения дифференциального уравнения применяются описанные выше условия однозначности [3], [4].

3. Метод и алгоритм решения уравнений теплообмена

Для решения дифференциального уравнения теплопроводности (2.36) с соответствующими начальными и граничными условиями применяется метод конечных разностей. Конечно-разностная сетка изображена на рис.3.1 Каждый узел сетки нумеруется в виде , где  - номер узла по направлению  для полусферы и цилиндра, a  - номер узла по направлению  для полусферы и по направлению  для цилиндра. Нумерация узлов начинается от центра сферы и оси цилиндра. Коническая поверхность оправки заменена ступенчатой, кратной шагу . Дискретные моменты времени обычно нумеруются индексами:  - предыдущий, а  - последующий моменты времени. Номер предыдущей и последующей итерации обозначается верхними индексами  и  соответственно.

Для аппроксимации дифференциальных уравнений теплопроводности (2.37) - (2.40) применяется неявная консервативная итерационная разностная схема, реализуемая методом Гаусса-Зейделя. Суть этого метода заключается в том, что при расчете температуры  в узле  на -й итерации используются температуры  и  из предыдущей итерации и вновь вычисленные температуры  и на расчетной -й итерации. Неявность разностной схемы достигается применением итерационной процедуры на каждом временном слое.

Рис.3.1 Конечно-разностная сетка, применяемая в численном методе конечных разностей при решении задачи теплопроводности оправки.

Конечно-разностные аналоги дифференциального уравнения теплопроводности для всех характерных участков оправки записываются так:

а) внутренние узлы сферы :

б) внутренние узлы конической и цилиндрической частей оправки :

в) температура в узлах, расположенных на поверхности сопряжения: полусфера - конус, рассчитывается следующим образом. Поскольку поверхность сопряжения одновременно принадлежит полусфере и конусу, то вторая производную по координатам  и  аппроксимируется по формулам, приведенным далее. Для полусферы принимается составляющая второй производной по углу  в сферических координатах, а для конической части - составляющая второй производной по в цилиндрических координатах. Узлы, расположенные на поверхности сопряжения полусфера - конус, пронумерованы . На поверхности сопряжения при использовании равномерной сетки уравнения записываются так:

г) узлы, расположенные на оси полусферы

д) узлы, расположенные на оси конической и цилиндрической частей оправки

При аппроксимации дифференциальных уравнений (2.39) и (2.40) конечно-разностными аналогами (3.3) и (3.4) учитывается, что в силу симметрии  и . В вышеприведенных формулах (3.1) - (3.4) принимаются следующие обозначения:

;

;

;

;

,

где  - шаг по координате .

На поверхности оправки граничные условия II рода при нагреве (2.28) и охлаждении (2.31) аппроксимируются по трем приграничным узлам с учетом поглощения (выделения) теплоты в приграничном узле толщиной :

,

где  - плотность теплового потока, поступающего на оправку при прошивке или уходящего с нее при охлаждении. Из последнего уравнения получается формула для определения температуры поверхности оправки в узлах :

.

Граничное условие (2.58) на торцевой границе стержня также аппроксимируется по значениям температуры в трех приграничных узлах сетки

,

откуда получается

.

При расчете температуры в "центральной" точке сферы и усеченного конуса  возникают трудности, связанные с тем, что эта точка принадлежит одновременно центру полусферы и оси плоскости сопряжения полусфера - цилиндр. Температура в этой "центральной" точке определяется по балансу тепловой энергии в объеме, прилегающем к этой точке (рис.3.2):

,

где  - удельная объемная теплоемкость; - объем тела вращения ABDSA;  - тепловой поток, поступающий в выделенный объем.

Рис.3.2 Пояснение к расчету температурного поля в центре сферического участка.

Тепловой поток равен

,

где составляющие теплового баланса определяются по формулам

.

Объем тела вращения ABDSA (см. рис.3.2) рассчитывается по формуле

.

В общем случае все конечно-разностные уравнения приводятся к виду:

,

где  - коэффициенты разностного уравнения,  - свободный член. Эти величины рассчитываются по формулам, приведенным в табл.3.1 и табл.3.2. Выражение для искомой температуры  из уравнения (3.19), записывается так:

.

Для увеличения скорости сходимости итерационного процесса на каждом временном слое в расчет вводится коэффициент верхней релаксации . В этом случае:

.

Таблица 3.1 Коэффициенты конечно-разностных уравнений.

Таблица 3.2 Коэффициенты конечно-разностных уравнений.

Погрешность расчета температуры на первой  и последующих  итерациях равна:

;

.

Критерием завершения итерационного процесса является условие:

,

где  - заданная точность расчета [4].

4. Методы оценки термонапряженного состояния

4.1 Физические основы возникновения термических напряжений

При изменении температуры происходит объемное расширение или сжатие твердого тела. Неравномерный нагрев приводит к возникновению внутренних напряжений, к деформированию твердого тела.

Уровень термических напряжений в существенной степени зависит от многих факторов: параметров теплового режима (скорости нагрева и охлаждении, уровня температур цикла), физико-механических характеристик материала и скорости их изменения при колебаниях температуры, вида напряженного состояния, а также геометрии и конструктивных параметров самого элемента. Высокие уровни температур, циклический характер температурного воздействия, чередование нестационарных и стационарных режимов создают в материале особые условия работы: высокую термомеханическую напряженность, большие уровни термических напряжений. Все это обусловливает в большинстве случаев работу материала конструктивного элемента за пределами упругости; в наиболее напряженных точках наблюдается процесс циклического упруго-пластического деформирования, приводящий материал к разрушению за ограниченное число циклов.

Страницы: 1, 2, 3, 4