4. Расплывание волновых пакетов

Предположим, что мы создали такое состояние частицы, когда она локализована в ограниченной области пространства, то есть соорудили в начальный момент времени волновой пакет, длина которого Δx0 (мы знаем, что частица где-то здесь в окрестности какого-то значения x). Фазовая скорость волн, из которых построен пакет равна , и, поскольку имеет место такое соотношение , мы видим, что фазовая скорость зависит от k, то есть каждая синусоида, составляющая пакет, движется со своей скоростью. К чему это приведёт? Каждая синусоида начинает сдвигаться относительно другой, между ними меняются фазовые соотношения и этот пакет начинает растягиваться.1) Можно оценить это расплывание.

Разброс в импульсе , этому разбросу в импульсе соответствует разброс в скоростях , где m – масса частицы, а этому разбросу скоростей будет соответствовать увеличение расстояния , то есть, если в начальный момент времени волновой пакет имел длину Δx0, то к моменту времени t он будет иметь такую длину.2)

Там, где существенны волновые свойства, там рушится понятие траектории. Мне был приведён контрпример – наблюдаются траектории в камере Вильсона. Действительно, в камере Вильсона электроны оставляют следы, как это со всем сообразуется? Сообразуется следующим образом.

Во-первых, как получается след в камере Вильсона? В чистом небе высоко где-то летит самолёт, которого почти не видно, и за ним тянется ровный белый след – рисуется его траектория. Тот же механизм и в камере Вильсона. Там на этих высотах чистая атмосфера и водяной пар, переохлаждённый водяной пар (на высоте 10000м температура порядка –40оС). Водяной пар при таких температурах должен был бы конденсироваться, но для конденсации нужны конденсаты.1) Летит самолёт, выбрасываются частицы (сгорает топливо в двигателе), они становятся центрами конденсации и на них высаживаются капли воды, и мы получаем такую белую полосу. Камера Вильсона действует таким же образом. Под поршнем, скажем, пар, и внезапно поршень выдвигают, начинается адиабатическое охлаждение. Пар переводится в состояние охлаждённого пара, в этот момент залетает частица, она производит ионизацию атомов в воздухе, эти ионизированные атомы делаются конденсатами, на них высаживаются капли воды, мы получаем видимый след. А теперь, как это связано с теорией?

Вот у вас летит электрон это волновой пакет. Я рисую гребни волн. В точке 1 произошла ионизация, и мы получили здесь каплю воды. Волновая функция скукожилась сразу в окрестности этой точки, но этот пакет обладает импульсом, он продолжает двигаться в том же направлении, эта волновая функция снова расплывается. Следующая конденсация произошла в точке 2, и так далее. На самом деле, толщина этого следа по атомным масштабам очень велика. Действительно, каждая капля, которая образуется (это измерение координаты электрона), ложится хаотично в пространстве, но все капли укладываются в след, толщина которого много больше длины волны. Они хаотически обнаруживаются в разных точках в пределах волнового пакета, ну а для нас это выглядит как такая траектория. Если бы мы были сами атомных масштабов и сидели там внутри, то мы видели бы, что он тут вспыхнул, потом он там вспыхнул, и никакой траектории мы тогда б не увидели. Таким образом вся эта картина увязывается со следами в камере Вильсона.

5. Стационарные состояния

Мы нашли одно специальное решение в виде плоской волны, сейчас мы найдём ещё один класс специальных решений для уравнения Шрёдингера

Положим , математик говорит «будем искать решение в таком виде». Каков смысл этого решения?

Волновая функция это функция координат и времени, мы хотим найти функции такого типа, чтоб были разделены временная и пространственная переменные.1)

Пока чисто математическая проблема.

При подстановке мы получаем уравнение: . Отсюда дальше . Слева у нас стоит функция от времени, а справа стоит функция от координат, и вот это равенство, что некоторая функция от времени при любых значениях t равна некоторой функции от координат при любых значениях координат. Как это может быть? Только так, что обе эти функции константы. Это означает, что мы имеем два уравнения  и в то же самое время.

Сразу получаем, что , а функция  удовлетворяет такому уравнению

.                       (8)

И мораль такая: волновая функция Ψ вида

                                      (9)

удовлетворяет уравнению Шрёдингера, где функция  удовлетворяет уравнению (8), которое называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний.

Это математический факт, какая физика за этим стоит? А физика такая – функция вида (9) описывает стационарное состояние частицы с энергией E. Стационарное означает, вообще-то, независящее от времени, а почему оно не зависит от времени, когда в (9) время явно сидит? Ещё раз напомню, сама волновая функция не имеет физического смысла, но физический смысл имеет квадрат её модуля, а  и от времени не зависит.

Функция  даёт распределение вероятностей обнаружить частицу в той или иной точке пространства, то есть она даёт пространственную конфигурацию этого состояния, и оно не зависит от времени. Мы имеем застывшую картину, а энергия этого состояния вполне определённая. Значит, есть энергия, но нет кинематики. Мы увидим дальше, что, например, электрон в атоме может находиться в стационарных состояниях с определённой энергией, а что касается пространственной зависимости вероятности обнаружить его в той или иной точке, то это застывшая картина. И, кстати, из этого мы можем понять, как будет решена проблема, которая возникает при применении классической механики к атому.

Как только обнаружилось, что в атоме есть ядро, то сразу родилась планетарная модель атома: положительное ядро и электроны, вращающиеся по орбитам, как планеты вокруг солнца. В эту модель сразу занеслось противоречие, потому что электроны, вращающиеся вокруг ядра, должны излучать электромагнитные волны за счёт своей энергии, – он очень быстро должен был бы свалиться на ядро.1) Мы сейчас видим, какова будет разгадка этой загадки.

Если электрон в атоме находится в стационарном состоянии, которое описывается функцией (9), то это застывшая картина, нет никакого движения заряда,  со временем не меняется – нет излучения.

Вот таким образом решается проблема с электроном в атоме. Я ещё раз говорю, что этот образ электронов, вращающихся, как планеты вокруг солнца, вокруг ядра, который в классической физике присутствует, не имеет отношения к действительности.

Кстати, волновая функция  описывает стационарное состояние (волновая функция для свободной частицы это частный случай стационарного состояния). Для плоской волны есть импульс, импульс это динамическая характеристика, а кинематики, то есть чего-то такого движущегося, нет, потому что вероятность всюду одинакова. Вот, когда мы возьмём волновой пакет, мы получим кинематику, но зато потеряем определённость в импульсе.

6. Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект

Мы нашли одно частное решение для свободной частицы, когда не было потенциальной энергии, рассмотрим сейчас задачу чуть более сложную. Пусть потенциальная энергия имеет вид   (рис.6.1, а).

Физика такая: в области x<0 сила, действующая на частицу, ноль, при x>0 сила, действующая на частицу тоже ноль (потенциальная энергия постоянна), но зато в окрестности нуля действует сила . График силы изображён на рисунке 6.1, б. Для такой ступеньки производная бесконечно велика, это означает, что в окрестности нуля действует бесконечно большая сила, направленная влево, но, хотя сила бесконечно большая, работа против этой силы тем не менее конечна.

Наглядно: вот стоит абсолютно твёрдая стенка, абсолютная твёрдость означает, что при столкновении со стенкой отбрасывающая сила бесконечно велика, но тем не менее стенка пробиваема: если налетающая частица имеет кинетическую энергию больше некоторой, то она эту стенку пробивает. Работа по преодолению этой силы тем не менее конечна. Это будет изображаться таким потенциальным барьером.

Реально это можно реализовать для электронов. Имеем две металлические стенки, к этим стенкам приложена разность потенциалов. Электрон попадает в область электрического поля между стенками и испытывает силу, выталкивающую его обратно. Теперь, выдерживая постоянное напряжение, будем сближать эти стенки. Напряжённость электрического поля стремится к бесконечности, но работа по пробиванию этого конденсатора остаётся конечной. Этот барьер для электронов будет реализован вот таким образом.

А теперь мы будем рассматривать стационарное состояние. Высота барьера U0, пишем уравнение Шрёдингера для стационарных состояний:

Как нам затолкать эту разрывную функцию U(x) туда? А просто мы сейчас разделим всё пространство на две части, напишем это уравнение для области x<0 и потом напишем это уравнение для области x>0, найдём эти решения, а потом их будем сшивать в точке x0=0, чтоб получить одну функцию (волновая функция должна быть непрерывной).

                                                               (8.1)

                                                   (8.2)

Решение уравнения (8.1) пишем немедленно (это уравнение колебаний):

. Это решение в области x<0.      

Уравнение в области  в случае E>U0 имеет решение такое же как при x<0, а если , то это уравнение другого типа, оно имеет другое решение.

Мы рассматриваем первый случай, когда энергия частицы больше, чем напряжение в цепи:  и E>U0.

Эти решения надо состыковать. Функция должна быть это непрерывной:

                                                                                      (8.3)

На волновую функцию накладывается ещё одно требование – непрерывность первой производной (физическую основу этих требований мы ещё увидим):

                                                                                   (8.4)

У нас четыре константы, а мы имеем два уравнения. Математик, конечно, озадачился бы, но мы должны интерпретировать результат. Прежде всего смотрим на функцию u1:  это волна, бегущая вправо вдоль оси x, она описывает налетающие частицы,  это волна, бегущая влево вдоль оси x в области x<0, это волна может быть отразившейся, мы пока оставим это дело. Константа C1 описывает падающую волну, она соответствует амплитуде падающей волны, то есть, в конечном счёте, интенсивности налетающего пучка, значит, C1 заданная константа, C2 подлежит определению. Смотрим на решение u2 в области :  это волна, идущая вправо, она описывает пучок, прошедший через барьер,  это волна, идущая влево, физически ей неоткуда взяться, поэтому полагаем C4=0. Теперь мы имеем константу C1 (задаём сами), а C2 и C3 должны определить. У нас есть два условия, напишем эти условия: формула (8.3) в нуле даёт C1+ C2= C3, формула (8.4) даёт . Мы получим:

        и         

Мы видим, что , это означает, что есть отражённая волна. Квадрат модуля функции даёт плотность вероятности (вероятность найти частицу в этой точке), она пропорциональна количеству частиц.

Вот электроны, летящие с кинетической энергией, входят в область электрического поля, которое оказывает тормозящую силу, но их энергия больше, чем работа по преодолению этого поля. По классическим понятиям все электроны проходят этот конденсатор и дальше идут с меньшей энергией, здесь мы получаем, что существует отличная от нуля вероятность (тем больше, чем больше C2), что электрон отразится от этого поля и полетит обратно, при чём с той же энергией, с которой он летел. Чтобы драматизировать пример: ставим абсолютно твёрдое, но непробиваемое стекло, и вы стреляете в него из пулемёта. Нормальные пули стекло пробивают, но по правилам игры, которые мы тут обнаруживаем, есть отличная от нуля вероятность, что пуля отразится всё-таки от стекла и попадёт стрелку в лоб.

7

Мы рассматривали прохождение частицы через потенциальный барьер. Мы нашли решение для этой ситуации в случае, когда x<0 и когда  и E>U0. Мы нашли, что он проходит барьер, но существует отличная от нуля вероятность, что он тем не менее отразится обратно, потому что в решении появилась отражённая волна.

А теперь второй случай:  и .1)

Уравнение (8.2) нам даёт: , где . Раньше это было уравнение колебаний, имели решение в виде мнимых экспонент, а здесь будет решение в виде действительных экспонент (уравнения такого типа всегда удовлетворяются экспонентами):

Слева от барьера было решение . Опять мы должны получить функцию, заданную на всей оси x,2) мы снова должны сшить эти функции в точке x0=0.

Опять имеем четыре константы, и условия для сшивки (8.3) и (8.4). Константу C1 мы считаем заданной (это мера интенсивности налетающего пучка),  это отражённая волна, C2 подлежит определению. В решении в правой части  мы выкинем сразу, потому что функция  экспоненциально нарастает, а это недопустимо для волновой функции (она интерпретируется как плотность вероятности): ,  подлежит определению. Условие (8.3) даёт: , (8.4): , и получим, что

         и        

Видно, что , интенсивность отражённого пучка такая же как интенсивность падающего. Это означает, что весь пучок, действительно, отразится назад, но, тем не менее, волновая функция в области  будет отлична от нуля: .

То есть вероятность обнаружить частицу в классически запрещённой области отлична от нуля, – она экспоненциально затухает, но, все-таки, частица внедряется в эту запрещённую область. Частица уходит назад (интенсивность отражённого пучка такая же как интенсивность падающего, всё, что упало, всё отразилось), но то, что волновая функция не сразу обращается в ноль, физически проявляется в эффекте очень неожиданном на первый взгляд.

Туннельный эффект

Не будем решать эту задачу, она решается, но, просто, алгебра здесь длинная. Рассмотрим барьер конечной ширины – вот такую потенциальную энергию U(x) (рис.6.6, а).

Физически как реализовать эту ситуацию? Для электрона, поставив два конденсатора (рис.6.5). С точки зрения здравого смысла и классической механики что будет? Электрон летит, если его энергии достаточно, чтобы пробить конденсатор, то он через него пройдёт, долетит до следующего конденсатора, ускорится,  вылетит и будет двигаться дальше с той же скоростью, с которой он подлетал. Если же у него энергии недостаточно, чтобы пробить первый конденсатор, то он сюда забурился, остановился, и его выбросило обратно, и он улетел, а что там дальше подставлять (человека поставить флажком махать или ещё что-нибудь) ему всё равно, он туда не долетает.

А вот в квантовой механике будет иначе. Качественно ситуация выглядит так.

За барьером мы получаем волну с той же длиной. Качественно довольно очевидно, ну а формально можно получить всё это, только в два раза больше сил потребуется, чем для ступеньки, поскольку больше граничных условий.

Это означает, что, если энергия частицы меньше высоты барьера, то существует тем не менее отличная от нуля вероятность, что она пролетит, то есть, когда вы ставите для электрона конденсатор с тормозящим полем, через него электрон заведомо не проходит, но если вы дальше поставите конденсатор с ускоряющим полем, то он пройдёт. Чем дальше будет второй конденсатор, тем больше ширина потенциального барьера, тем меньше вероятность.

Конечно, ситуация удивительная, чтобы её перевести на житейский язык, так скажем. Человек не прыгнет на 3м, чемпионы сейчас на 2.30 прыгают, но на 3м не прыгнут, даже я берусь спорить, что никогда не прыгнут.1) Теперь в чистом поле роем яму глубиной 3м и туда человека скинули. Он там может прыгать, но из ямы не выскочит. Другая ситуация: на ровном месте окружаем его стеной высотой 3м (барьер конечной ширины), тогда, если он будет прыгать достаточно долго и упорно, окажется, что он из ямы не выпрыгнет (ступенька потенциальная), а стену может преодолеть. Можно сказать, что нет вероятности выскочить из ямы глубиной 3м, но есть отличая от нуля вероятность перепрыгнуть трёхметровую стену.2)

Страницы: 1, 2, 3