Большая База Рефератов - Лекции по механике - бесплатно рефераты, скачать рефераты, рефераты на тему

Меню

Поиск

Лекции по механике

М = [ r f ] . ( 4-2 )

Модуль векторного произведения = r f sin a, а на-

правление вектора М определяется правилом правого
буравчика: направление первого вектора r по кратчай-

шему пути вращается к направлению второго вектора f, а движение оси буравчика

z Mz

O f

r a

Рис.12. Момент силы от-
носительно оси.

при этом вращении показывает направление вектора М.

Моментом силы относительно произвольной оси z
называется векторное произведение радиуса-вектора r

и составляющей f силы f , приложенной в точке А:

М = [ r f ] , ( 4-3 )

где составляющая f представляет собой проекцию си-
лы f на плоскость, перпендикулярную оси z и проходящую через точку А , а r - радиус- вектор точки А, ле-

жащий в этой плоскости .

§ 4-3. Основное уравнение динамики вращательного движения.

О1

О2

Рис.13 Вращение

твердого тела.

Пусть имеется твердое тело произвольной формы (см. рис 13), которое может вращаться вокруг оси О1О2 . Разбивая тело на малые элементы, можно заметить, что все они вращаются вокруг оси О1О2 в плоскостях, перпендикулярных оси вращения с одинаковой угловой скоростью w. Движение каждого из отдельных элементов малой массы m описывается вторым законом Ньютона. Для i -го элемента имеем:

mi ai = fi1+ fi2 + ..... +fiN + Fi , ( 4-4 )

где fik ( k = 1,2, ...N) представляют собой внутренние силы взаимодействия всех элементов с выбранным, а Fi - равнодействующая всех внешних сил, действующих на i - элемент. Скорость vi каждого элемента вообще говоря может меняться как угодно, но поскольку тело является твердым, то смещения точек в направлении радиусов вращения можно не рассматривать. Поэтому спроектируем уравнение ( 4-4 ) на направление касательной и умножим обе части уравнения на ri :

ri( mi ai )t= ri(ri(fi1)t + ri(fi2)t + ..... +ri(fiN)t + ri(Fi)t . ( 4-4a )

В правой части получившегося уравнения произведения типа ri(fi1)t представляют собой (согласно ( 4-3)) моменты внутренних сил относительно оси вращения, т.к. ri и (f i)t взаимно перпендикулярны. Аналогично произведения ri(Fi)t являются моментами внешних сил, действующих на i-элемент. Просуммируем уравнения дви-

1 O1

(f12)

f12 r1

l12

f21

l21

(f21) b . 2 r2

                                              O2 Рис.14. Компенсация
          моментов внут-
          ренних сил .

жения по всем элементам, на которые было разбито тело.

Сумму моментов внутренних сил можно разбить по парам
слагаемых, обязанных своим возникновением взаимодействию двух элементов тела между собой. На рис.14 пред-
ставлена пара, состоящая из 1-го и 2-го элементов. Проводя плоскость через линию, соединяющую эти элементы, параллельно оси вращения О1О2, нетрудно заметить, что моменты сил взаимодействия этих элементов равны по величине и противоположно направлены, т.е. они компенсируют друг друга. Действительно, силы f12 и f21 равны между собой; равны и их составляющие (f12) = (f21) . Кроме того равны и их плечи [8]( l12= l21 ), т. к. каждое из них
перпендикулярно проведенной плоскости. Поэтому момен-

ты сил М1 = ( f12) r1sin(900 - g) = (f12) l12 и M2 = (f21) r2 sin(900 - b) = (f21) l21 равны и противоположно направлены. На основании этого можно сделать вывод, что при сложении всех моментов внутренних сил они попарно уничтожатся. Суммарный момент всех внешних сил обозначим S Мi , где Mi = [ ri Fi].

Левая часть уравнения ( 4-4а ) с учетом (3 -7) представится в таком виде:

==, ( 4-5 )

где величину принято называть моментом инерции твердого тела относительно заданной оси. Эта величина характеризует распределение массы тела относительно определенной оси. Как следует из определения момента инерции - это величина аддитивная. Момент инерции тела складывается из моментов инерции его отдельных элементов, которые можно рассматривать как материальные точки, т.е.

I =, где ji = mi - момент инерции материальной точки.

При практическом вычислении моментов инерции вместо суммирования используется интегрирование ( суммирование бесконечно малых величин). Если ось, относительно которой вычисляется момент инерции, проходит через центр симметрии тела, то вычисление такого интеграла представляет сравнительно несложную задачу, но в общем случае задачу решить трудно. Для упрощения вычислений полезной оказывается теорема о параллельном переносе осей инерции (теорема Гюйгенса - Штейнера), формулировка которой гласит, что момент инерции относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями, т.е.

Iпроиз = Iцм + m d 2 . ( 4-6)

Для некоторых тел правильной формы значение моментов инерции относительно осей, проходящих через центр их симметрии приведены в таблице 2.

Таблица 2.

Форма тела Расположение Величина

оси момента

инерции

Обруч m R2

Цилиндр

Шар

Примечание: m- масса тела, R - его радиус

На основании изложенного уравне-ние (4-4а) с учетом (4-5) приводится к виду:

, ( 4-7 )

которое называется уравнением динамики вращательного движения твердого тела или уравнением моментов. Дело в том, что левую часть этого уравнения можно представить по другому, т.к. по
аналогии с правой частью величину

[riaimi]=[=

называют изменением момента импульса (радиус ri внесен под знак дифференцирования, т.к. все точки вращаются по окружностям постоянного радиуса ) . Если

обозначить [ ri mi vi] = [ri pi] = Li , a cyмму = L , то уравнение (4-7) можно за-

писать так: . ( 4-8 )

O mv

r a

Рис.15.Момент импуль-
са материальной точки.

Рис.15 поясняет определение момента импульса точечной массы относительно точки О, который вычисляется также как момент силы [ ri mi vi] = [ri pi] = Li . Направление момента импульса определяется правилом правого буравчика - вектор r вращается по кратчайшему пути к вектору mv, а направление движения оси буравчика указывает направление вектора L . Момент импульса относительно оси также определяется аналогично моменту силы относительно оси:

L = [ r p ] , ( 4-9 )
где значения r и р соответствуют обозначениям рис.12 ( с заменой f на р ). Для вращательного движения точки L = [r mv] = [r mwr] = w mr 2 = w Ii . Для твердого тела L = wI . ( 4-10 )

§ 4-4. Закон сохранения момента импульса.

Если правая часть уравнения (4-8) оказывается по каким - либо равной нулю - суммарный момент сил равен нулю, то и L = const. Это случается, если система замкнута, т.е. внешние силы вообще не действуют, или если моменты внешних сил компенсируют друг друга. Наконец, если внешние силы оказываются центральными - линии действия всех сил пересекаются в одной точке. Весьма интересным представляется случай, когда механический момент импульса при вращении тела имеет достаточно большую величину ( по сравнению с моментом внешних сил ). Наиболее ярким примером этого служит гироскоп ( см. рис 16 ).

M L2 dL

Рис.16 Прецессия гиро-
скопа.

Гироскопом принято называть достаточно массивное
тело, быстро вращающееся вокруг оси симметрии. Гироскоп закрепляют в одной точке с помощью специального устройства - карданова подвеса . Если на гироскоп действуют внешние силы ( груз mg на рис.),

то ось гироскопа начинает смещаться под воздействием момента силы ( см. ( 4-8 )), т.е. изменение момента импульса совпадает с направление М. За малый промежуток времени dt ось гироскопа повернет-

ся на угол dj так, что изменение момента импульса dL = L1 - L2 = Ldj. В то же время из уравнения ( 4-8 ) следует dL = M dt , или Ldj = M dt , откуда можно придти к выводу, что гироскоп начинает вращаться в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка с частотой, которая называется частотой прецессии.

. ( 4-11 )

Если моменты внешних сил малы по сравнению с моментом импульса вращающегося тела, то частота прецессии мала, и тело сохраняет ориентацию оси вращения в пространстве ( пример - жонглирование предметами в цирке).

[1] В отличие от юридических законов, предписывающих те или иные правила поведения, физические законы носят
описательный характер и отражают реальные соотношения между различными явлениями природы.

[2] Материальной точкой можно считать любой объект, если его геометрические размеры малы по сравнению с характеристическими расстояниями конкретной задачи.

[3] Трактат И. Ньютона «Математические начала натуральной философии» был опубликован в 1687 г.

[4] Вес тела - это сила, с которой тело давит на подставку или растягивает нить подвеса. В быту силу в Ньютонах измерять не принято.

[5] Это не имеет ничего общего с так называемыми «предсказаниями» оккультных «наук».

[6] Положительное направление оси координат удобно направить вниз.

[7] Для упрощения изложения материала силы трения качения не рассматриваются .

[8] Плечом силы называют величину r sina (cм. выражение (4-2) и обозначения рис.11.). Оно является перпендикуляром, опущенным на линию действия силы.

Страницы: 1, 2, 3, 4

Новости

Мои настройки

Наверх