Меню
Поиск



рефераты скачать Лекции по механике

                               М = [ r f ] .                              ( 4-2 )

Модуль векторного произведения  = r f sin a, а  на-

правление вектора М определяется правилом правого
буравчика: направление первого вектора r по кратчай-                     

шему пути вращается к направлению второго вектора f, а движение оси буравчика

           z   Mz

                                      f

                           f     


                O                  f

                       r             a         

                               А

                             

Рис.12. Момент силы от-
             носительно оси.

при этом вращении показывает направление вектора М.     

       Моментом силы относительно произвольной оси z
называется векторное произведение радиуса-вектора r

и составляющей f  силы f , приложенной в точке А:

                             М = [ r  f  ] ,                              ( 4-3 )

где составляющая f   представляет собой проекцию си-
лы f на плоскость, перпендикулярную оси z  и проходящую через точку А , а r - радиус- вектор точки А, ле-     

жащий в этой плоскости .                    

                   § 4-3. Основное уравнение динамики вращательного движения. 

                 О1                         

                                          

                                            

                           ri               

                                       mi 

                                                           

                                                             

                                             

                

                 О2       

 Рис.13  Вращение

         твердого тела.

      Пусть имеется твердое тело произвольной формы (см. рис 13), которое может вращаться вокруг оси О1О2 . Разбивая тело на малые элементы, можно заметить, что все они вращаются вокруг оси О1О2 в плоскостях, перпендикулярных оси вращения с одинаковой угловой скоростью w. Движение каждого из отдельных элементов малой массы m  описывается вторым законом Ньютона. Для i -го элемента имеем:

     mi ai =  fi1+ fi2 +  ..... +fiN + Fi ,                     ( 4-4 )

где fik ( k = 1,2, ...N)  представляют собой внутренние силы взаимодействия всех элементов с выбранным, а Fi - равнодействующая всех внешних сил, действующих на i - элемент. Скорость vi каждого элемента вообще говоря может меняться как угодно, но поскольку тело является твердым, то смещения точек в направлении радиусов вращения можно не рассматривать. Поэтому спроектируем уравнение ( 4-4 ) на направление касательной и умножим обе части уравнения на ri :

                ri( mi ai )t= ri(ri(fi1)t + ri(fi2)t +  ..... +ri(fiN)t + ri(Fi)t .             ( 4-4a )

В правой части получившегося уравнения произведения типа ri(fi1)t  представляют собой (согласно ( 4-3)) моменты внутренних сил относительно оси вращения, т.к. ri и (f i)t взаимно перпендикулярны. Аналогично произведения ri(Fi)t являются моментами внешних сил, действующих на i-элемент. Просуммируем уравнения дви-

                                      1      O1      

                   (f12)                                                         

                               f12     r1                                         

                                                   

                                 g                        

                                    l12                                 

                                                         

                                              

     f21                                           

                          l21                   

         (f21) b .                                                                                                   2  r2                                                  

                                              O2 Рис.14. Компенсация
          моментов внут-
          ренних сил .

жения по всем элементам, на которые было разбито тело.

Сумму моментов внутренних сил можно разбить по парам
слагаемых, обязанных своим возникновением взаимодействию двух элементов тела между собой. На рис.14 пред-
ставлена пара, состоящая из 1-го и 2-го элементов. Проводя плоскость через линию, соединяющую эти элементы, параллельно оси вращения О1О2, нетрудно заметить, что моменты сил взаимодействия этих элементов равны по величине и противоположно направлены, т.е. они компенсируют друг друга. Действительно, силы f12 и f21 равны между собой; равны и их составляющие  (f12)  =  (f21)  . Кроме того равны и их плечи [8]( l12= l21 ), т. к. каждое из них
перпендикулярно проведенной плоскости. Поэтому момен-                                            

ты сил М1 = ( f12)  r1sin(900 - g) = (f12)  l12 и M2 = (f21)  r2 sin(900 - b) = (f21)  l21 равны и противоположно направлены. На основании этого можно сделать вывод, что при сложении всех моментов внутренних сил они попарно уничтожатся. Суммарный момент всех внешних сил обозначим S Мi , где  Mi = [ ri Fi].

          Левая часть уравнения ( 4-4а ) с учетом (3 -7) представится в таком виде:

                                   ==,                ( 4-5 )

где величину  принято называть моментом инерции твердого тела относительно заданной оси. Эта величина характеризует распределение массы тела относительно определенной оси. Как следует из определения момента инерции - это величина аддитивная. Момент инерции тела складывается из моментов инерции его отдельных элементов, которые можно рассматривать как материальные точки, т.е.

                   I =, где   ji = mi  - момент инерции материальной точки.

 При практическом вычислении моментов инерции вместо суммирования используется интегрирование ( суммирование бесконечно малых величин). Если ось, относительно которой вычисляется момент инерции, проходит через центр симметрии тела, то вычисление такого интеграла представляет сравнительно несложную задачу, но в общем случае задачу решить трудно. Для упрощения вычислений полезной оказывается теорема о параллельном переносе осей инерции (теорема Гюйгенса - Штейнера), формулировка которой гласит, что момент инерции относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями, т.е.

                                                         Iпроиз = Iцм  +  m d 2 .                                     ( 4-6)                        

Для некоторых тел правильной формы значение моментов инерции относительно осей, проходящих через центр их симметрии приведены в таблице 2.

                         Таблица 2.                              

Форма тела        Расположение          Величина

                               оси                     момента

                                                               инерции

   Обруч                                           m R2

 

  Цилиндр                                                         

 

     Шар                                         

Примечание: m- масса тела, R - его радиус  

   На основании изложенного уравне-ние (4-4а) с учетом (4-5) приводится к виду:

                      ,           ( 4-7 )

которое называется уравнением динамики вращательного движения твердого тела или уравнением моментов. Дело в том, что левую часть этого уравнения можно представить по другому, т.к. по
аналогии с правой частью величину

[riaimi]=[=  

называют изменением момента импульса (радиус ri внесен под знак дифференцирования, т.к. все точки вращаются по окружностям постоянного радиуса ) .  Если

обозначить [ ri mi vi] = [ri pi] = Li , a cyмму  = L , то уравнение (4-7) можно за-

писать так:                                           .                                           ( 4-8 )

               L




                O               mv  

                       r            a 

                              A


Рис.15.Момент импуль-
 са материальной точки.

Рис.15 поясняет определение момента импульса точечной массы относительно точки О, который вычисляется также как момент силы  [ ri mi vi] = [ri pi] = Li . Направление момента импульса определяется правилом правого буравчика - вектор r вращается по кратчайшему пути к вектору mv, а направление движения оси буравчика указывает направление вектора L . Момент импульса относительно оси также определяется аналогично моменту силы относительно оси:                

                                                            L = [ r  p  ] ,                                              ( 4-9 )
где значения r и р  соответствуют обозначениям рис.12 ( с заменой f на р ). Для вращательного движения точки  L = [r mv] = [r mwr] = w mr 2 = w Ii . Для твердого тела                                                       L = wI .                                                  ( 4-10 )

                                 § 4-4. Закон сохранения момента импульса.

         Если правая часть уравнения (4-8) оказывается по каким - либо равной нулю - суммарный момент сил равен нулю, то  и L = const. Это случается, если система замкнута, т.е. внешние силы вообще не действуют, или если моменты внешних сил компенсируют друг друга. Наконец, если внешние силы оказываются центральными - линии действия всех сил пересекаются в одной точке. Весьма интересным представляется случай, когда механический момент импульса при вращении тела имеет достаточно большую величину ( по сравнению с моментом внешних сил ). Наиболее ярким примером этого служит гироскоп ( см. рис 16 ).


                                          L1  

                                        dj               

       M                              L2 dL

  mg

Рис.16  Прецессия гиро-
               скопа.

Гироскопом принято называть достаточно массивное
тело, быстро вращающееся вокруг оси симметрии. Гироскоп закрепляют в одной точке с помощью специального устройства - карданова подвеса . Если на гироскоп действуют внешние силы ( груз mg на рис.),

то ось гироскопа начинает смещаться под воздействием момента силы ( см. ( 4-8 )), т.е. изменение момента импульса совпадает с направление М. За малый промежуток времени dt ось гироскопа  повернет-

ся на угол dj так, что изменение момента импульса dL = L1 - L2 = Ldj. В то же время из  уравнения ( 4-8 ) следует dL = M dt , или   Ldj =  M dt , откуда можно придти к выводу, что гироскоп начинает вращаться в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка с частотой, которая называется частотой прецессии.

                                                              .                                         ( 4-11 )

Если моменты внешних сил малы по сравнению с моментом импульса вращающегося тела, то частота прецессии мала, и тело сохраняет ориентацию оси вращения в пространстве ( пример - жонглирование предметами в цирке).



[1] В отличие от юридических законов, предписывающих те или иные правила поведения, физические законы носят
описательный характер и отражают реальные соотношения между различными явлениями природы.

[2] Материальной точкой можно считать любой объект, если его геометрические размеры малы по сравнению с характеристическими расстояниями конкретной задачи.

[3] Трактат И. Ньютона «Математические начала натуральной философии» был опубликован в 1687 г.

[4] Вес тела - это сила, с которой тело давит на подставку или растягивает нить подвеса. В быту силу в Ньютонах измерять не принято.

[5] Это не имеет ничего общего с так называемыми «предсказаниями» оккультных «наук».

[6]  Положительное направление оси координат удобно направить вниз.

[7] Для упрощения изложения материала силы трения качения не рассматриваются .

[8] Плечом силы называют величину r sina (cм. выражение (4-2) и обозначения рис.11.). Оно является перпендикуляром, опущенным на линию действия силы.


Страницы: 1, 2, 3, 4




Новости
Мои настройки


   рефераты скачать  Наверх  рефераты скачать  

© 2009 Все права защищены.