Длины отдельных скачков Dh принадлежат одному и тому же статистическому ансамблю и можно предположить, что они имеют одно и то же распределение вероятностей. Поэтому, для удобства, мы опишем длину скачка Dh с помощью случайной величины Dh=xi. Эта переменная связана с размахом напряжений S действительных циклов напряжений по всей S-N кривой. Учитывая, для удобства, основную кривую (4.7.9) это дает

Теперь, S – размах напряжений вызванный действием волн на конструкцию, который подчиняется гамма распределению с плотностью вероятности для больших интервалов времени (4.7.7), т.е. g(d, k, D; S).

Т.к. соотношение (4.7.39) согласовывается с преобразованием энергии (2.6.31), то длина скачка xi также подчиняется гамма распределению с функцией плотности вероятности f(xi)

как было получено в (2.6.33). Математическое ожидание  длины скачка xi получено из (2.6.17) как момент первого порядка

Соответствующие статистические моменты порядка 2 и 3 около нуля

и

соответственно. Для последующего использования, мы подставили обобщенные скорости U, V и W, определенные из выражений

В частности, U может интерпретироваться как средний рост коэффициента использования h за один цикл.

Дисперсия  длины скачка xi может быть получена как центральный момент второго порядка (2.4.3), что дает

Параметр n - это среднеквадратическое отклонение относительно математического ожидания длины скачка , этот параметр можно найти и в (2.4.3). Есть сходство с (2.8.34) по ширине диапазона.

Аналогично, центральный момент m3(xi) длины скачка xi может быть получен из (2.4.4) и его можно записать

l - это коэффициент асимметрии длины отдельного скачка. Например, для экспоненциального распределения он равен 2, а для нормального распределения 0.

Распределение вероятностей длины скачка Dh=xi имеет характеристическую функцию f(s), определенную в общем виде в (2.4.8) как

где s, в общем, может быть комплексным параметром. Разложение экспоненты в интеграле в ряд даст

Почленно интегрируя по xi и учитывая выражения (4.7.41) – (4.7.44) получим

Говоря физическим языком, отдельные вклады xi в коэффициент использования, которые вносятся напряжениями вызванными волнами, обычно довольно-таки нерегулярны. Если размах напряжений распределен экспоненциально, что часто бывает в морских конструкциях, то отдельный вклад xi для m=1 имеет среднеквадратическое относительное отклонение n=4,36 и коэффициент асимметрии l=19,6. Следовательно, функция плотности вероятности для отдельных приростов коэффициента использования очень широкая и в значительной степени асимметричная.

Уравнение движения для коэффициента использования. Коэффициент использования h в момент времени t описывают при помощи функции плотности вероятности r(h,t). Соответствующую характеристическую функцию обозначим через F(s,t), где s – такая же переменная, как и в (4.7.48). Ее получают с помощью преобразования плотности вероятности r(h,t)

Позже, эта характеристическая функция будет использована для вывода дифференциального уравнения в частных производных для r(h,t).

Теперь, если коэффициент использования после n циклов напряжений обозначен через hn, как в (4.7.38), то коэффициент использования одним периодом позже будет

Согласно гипотезе Палмгрена-Майнера, вклад xi не зависит от предыдущих вкладов, так, что hn и xi статистически независимы. В связи с этим, характеристические функции перемножаются, как это установлено правилом C в главе 2.4.2(iii). Т.к. эти функции уже определны в выражениях (4.7.50) и (4.7.47) соответственно, то характеристической функцией для распределения вероятностей h в момент времени t+T будет

Коэффициент использования h увеличивается скачкообразно и нерегулярно. Следовательно, он не имеет непрерывной скорости изменения, хотя можно вывести ее среднее значение из скорости роста U в (4.7.41). Тем не менее, можно считать, что функция вероятности r(h,t) и характеристическая функция F(s,t) изменяются во времени непрерывно. Т.о., мы можем найти производную характеристической функции по времени на примере изменения через один цикл напряжений T

Левую часть выражения можно заменить на производную (4.7.50) по времени, тогда как в правую часть можно подставить (4.7.52) и (4.7.49).

Если мы рассматриваем F(s,t) в качестве преобразования Лапласа (Laplace) по h, который входит в плотность вероятности r(h,t), то члены вида sjF(s,t) в (4.7.54) будут определены как преобразование Лапласа производных от r(h,t) по h. Формально, его можно вывести с помощью трех последовательных интегрирований по частям правого интеграла из (4.7.50). Подставленное в (4.7.54) оно даст

Первым необходимым условием для всех h и t в этом соотношении является то, что функция плотности вероятности должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных

Это уравнение Фоккера-Планка третьего порядка (посмотрите работу /10/), которое включает смещение, рассеяние и асимметрию. Данное уравнение количественно описывает поведение функции вероятности с течением времени. Три коэффициента U, V и W заданы в (4.7.44) и могут быть вычислены на основе параметров распределения вероятностей и данных по S-N кривых.

Однако, что бы (4.7.56) было полным решением, для граничных членов во второй строке (4.7.55) необходимо, что бы r(h,t) и его первые две производные по h, были равны нулю при h=0 и h=¥. Т.к. функция плотности вероятности (4.7.40) длин отдельных скачков xi может быть равна бесконечности при xi=0, то r(h,t) также может быть первоначально равна бесконечности. По этой причине, одно уравнение Фоккера-Планка (4.7.56) не всегда может достаточно полно описать первый этап развития усталости.

Моменты и приближенные решения. Помимо уравнения Фоккера-Планка (4.7.56), можно получить достаточно хорошие данные по усталостному распределению вероятностей r(h,t) учитывая моменты.

Как установлено выше, мы можем рассматривать длины скачков в сумме (4.7.38) как статистически независимые. Согласно правилу C в параграфе 2.4.2(iv), три первых центральных момента складываются. Т.е. среднее значение  и два первых центральных момента коэффициента использования после n циклов будут

Т.о., среднеквадратическое отклонение, также как и момент третьего порядка коэффициента h, будет расти с увеличением n. Среднеквадратическое отклонение величины h относительно математического ожидания будет

где n - это относительна дисперсия каждого отдельного скачка, определенная в (4.7.45). Таким же образом, показатель асимметрии коэффициента использования после n циклов

где l - основная асимметрия (4.7.46) в отдельных скачках. Т.о., как относительная дисперсия, так и показатель асимметрии уменьшаются с течением времени и ростом n. В зависимости от значения показателя асимметрии l3, функция вероятности r(h,t) может быть приблизительно найдена с помощью стандартных распределений.

Когда асимметрия становиться меньше двух, т.е. l3<2,0, распределение вероятностей r(h,t) для h может быть представлено экспоненциальным гамма распределением с плотностью (4.2.21). Это имеет место для размахов напряжений распределенных экспоненциально и m=3 при n>96 циклов. Функцию плотности вероятности можно записать

Параметры a, h и u (не путать с параметрами (4.7.1)) можно найти из моментов, как это показано в главе 4.2.2.

Сначала, из уравнения (4.2.32) определяют форму или параметр асимметрии a как решение уравнения

Затем, находят параметр дисперсии h, так же как в (4.2.33), т.е.

Наконец, параметр распространения u вычисляют из (4.2.34)

y-функции – это поли-гамма функции, они представлены в приложении B.

Когда время проходит и асимметрия становится еще меньше, например l3<0,4, для поли-гамма функций можно использовать некоторые асимптотические формулы. Для экспоненциальных распределений размахов напряжений это происходит при n>2400. Параметры экспоненциального гамма распределения a, h и u можно вычислить по более простым формулам

Если асимметрия l3 становится еще меньше, то распределение коэффициентов использования r(h,t) можно представить функцией нормального распределения вероятностей. Плотность вероятности можно записать

Для числа циклов n=9600, в случае экспоненциального распределения размахов напряжений, асимметрия l3=0,2. В большинстве случаев, это пренебрежимо малая величина так, что можно использовать функцию плотности нормального распределения вероятностей. Следовательно, функция нормального распределения вероятностей (4.7.69) достаточна при решении большинства задач по многоцикловой усталости. Но для малоцикловой усталости со случайным нагружением, значение прогнозируемого ресурса может быть полностью скрыто естественной дисперсией.

Модель случайного блуждания. Понятие о естественной дисперсии в усталости может быть, также, получено с помощью в некоторой степени искусственной, но поучительной модели случайного блуждания. Этот способ можно сформулировать следующим образом:

§         Коэффициент использования h растет скачкообразно, эти скачки имеют определенную длину L.

§         Для каждого цикла напряжений существует определенная вероятность p того, что h сделает один шаг вперед, а также вероятность (1-p) того, что он останется неизменным.

§         Вероятность скачка в одном цикле не зависит от предыдущих скачков.

Данное значение коэффициента использования h определяют после j скачков, а именно

Однако, эти скачки будут появляться нерегулярно. Вероятность того, что в течении n³j циклов коэффициент использования будет иметь j скачков, задана функцией вероятности биномиального распределения

Для краткой иллюстрации этого метода, рассмотрим особый случай, когда вероятность возрастания h в течение цикла равна 50% и вероятность того, что он останется прежним так же 50%

Это делает вероятность (4.7.71) равной

Для первых циклов, распределение вероятностей показано на рис. 4.7.8, его легко определить по таблице биномиальных коэффициентов.

Рис. 4.7.8   Зависимость функции вероятности коэффициента использования h от числа циклов, для случая p=(1-p)=0,5.

Очевидно, что после нескольких циклов, (дискретное) распределение вероятностей образует блоковое множество определенной ширины. За каждый цикл, вершина этого множества делает шаг вперед, ширина его также увеличивается.

В общем случае выражения (4.7.71), среднее значение  и расхождение sh коэффициента использования после n циклов равны соответственно

Следовательно, относительная дисперсия после n циклов  

Сравнивая это выражение с уравнениями (4.7.57) и (4.7.60), можно сделать вывод, что, когда математическое ожидание длины одного скачка  и относительная дисперсия n известны, параметры случайного блуждания L и p будут

Параметры  и n даны точно в (4.7.41) и (4.7.45). Выраженные непосредственно через статистические моменты M1(xi) и M2(xi) отдельного скачка xi, взятые из (4.7.41) и (4.7.42), те же переменные будут

Если m=3 и размахи напряжений распределены экспоненциально, то L=20 и p=1/20. Это значит, что по методу сопряженных случайных блужданий коэффициент использования возрастет случайно в среднем один раз в  двадцать циклов, кроме того, он возрастает скачком в течение одного цикла.

В методе случайных блужданий асимметрия не учитывается. Он соответствует упрощенному уравнению Фоккера-Планка второго порядка, в котором опущен параметр W.

Глава 4.7.5   Метод механики разрушения

Происхождение трещин и особенности напряженного состояния. Усталость в металлах имеет физическую основу, которая достаточно хорошо изучена. Первопричины находятся на субмикроскопическом уровне структуры материала. На этом уровне все металлы имеют монокристаллическую структуру, но с некоторыми несовершенствами в виде вакансий и дислокаций. Состояние вокруг дислокации такое же, как на конце незаконченного ряда зерен на кукурузном початке. В металлах высокой чистоты, линии дислокаций можно увидеть в электронный микроскоп.

В поле напряжений, которое вызвано в кристаллической решетке внешними силами, дислокации могут взаимодействовать и передвигаться. Предпочтительным результирующим движением является сдвиг или скольжение кристаллических слоев относительно друг друга, наибольшая чувствительность к нагрузке обнаружена при 45°. Движение дислокаций направлено на восстановление геометрически правильной кристаллической решетки. Во время этого процесса, линии дислокаций обязательно будут двигаться к поверхности кристалла, где их можно увидеть как микроскопические полоски, т.е. полосы скольжения. Соседние полосы скольжения образовывают волнистую поверхность, на которой канавки действуют как центры зарождения микротрещин распространяющихся вдоль межкристаллитных границ. Эти трещины будут наиболее чувствительны к компонентам напряжений направленным под углом 90° к поверхности трещины, под действием циклических нагрузок, они будут расти скачкообразно. Они обычно идут с поверхности в глубину металла и если к образцу приложено слабое растягивающее усилие, их можно увидеть как маленькие надрывы.

Факт раскрытия трещин при низких напряжениях указывает на то, что еще может быть использована линейная зависимость между деформациями и напряжениями. Элементы тензора напряжений можно рассматривать непрерывные функции от времени и расстояния. Но на микроскопическом уровне, эта ровная и непрерывная картина нарушается микротрещинами, вершины которых проявляются как небольшие местные сингулярности (особые точки или области) в непрерывном поле напряжений.

В частности, мы можем рассмотреть небольшую плоскую трещину идущую с поверхности. Распределение местных напряжений можно описать в локальной системе координат, где оси x и z перпендикулярны линии фронта трещины, как это показано на рис. 4.7.9.

Рис. 4.7.9   Координаты описывающие зависимость между локальными деформациями и напряжениями у фронта трещины.

Выражая линейное уравнение связи деформаций и напряжений в полярных координатах (r,q) и допуская, что эти переменные независимы, компоненты локальных напряжений можно записать как

Это решение аналогично описанию неполных круговых волн (circular partial waves) в (3.5.8). На поверхностях трещины, положение которых определяется q=±p, как нормальные напряжения, так и касательные должны быть равны нулю. Параметр, описывающий напряжения, который объясняет это требование, должен иметь радиальную функцию вида

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5