|  Экономико-математические методы и прикладные модели |
|
0,00
|
120
|
364,08
|
|
2
|
109,23
|
46,78
|
61,83
|
250
|
467,84
|
|
3
|
36,41
|
0,00
|
92,75
|
180
|
309,15
|
|
Условно чистая продукция
|
145,63
|
280,70
|
154,57
|
|
|
|
Валовой продукт
|
364,08
|
467,84
|
309,15
|
|
1141,07
|
Задача 4
Исследовать динамику экономического показателя
на основе анализа одномерного временного ряда.
В течение девяти последовательных недель
фиксировался спрос Y(t)
(млн руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t)
этого показателя приведен в таблице.
|
|
Номер наблюдения ( t = 1,2,…,9)
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
|
5
|
7
|
10
|
12
|
15
|
18
|
20
|
23
|
26
|
Требуется:
1.
Проверить наличие аномальных наблюдений.
2.
Построить линейную модель Y(t)
= a0
+ a1t,
параметры которой оценить МНК (Y(t))
– расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3.
Оценить адекватность построенных моделей,
используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и
соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S–критерия
взять табулированные границы 2,7-3,7).
4.
Оценить точность моделей на основе использования
средней относительной ошибки аппроксимации.
5.
По двум построенным моделям осуществить прогноз
спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при
доверительной вероятности p = 70%)
6.
Фактические значения показателя, результаты
моделирования и прогнозирования представить графически.
Решение
1). Наличие аномальных наблюдений приводит к
искажению результатов моделирования, поэтому необходимо убедиться в отсутствии
аномальных данных. Для этого воспользуемся методом Ирвина и найдем
характеристическое число () (таблица 4.1).
;
,
Расчетные значения сравниваются с табличными
значениями критерия Ирвина, и если они оказываются больше табличных, то
соответствующее значение уровня ряда считается аномальным.
Таблица 4.1
|
t
|
Y
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
5
|
-4
|
16
|
-10,11
|
102,23
|
-
|
-
|
|
2
|
7
|
-3
|
9
|
-8,11
|
65,79
|
2
|
0,28
|
|
3
|
10
|
-2
|
4
|
-5,11
|
26,12
|
3
|
0,42
|
|
4
|
12
|
-1
|
1
|
-3,11
|
9,68
|
2
|
0,28
|
|
5
|
15
|
0
|
0
|
-0,11
|
0,01
|
3
|
0,42
|
|
6
|
18
|
1
|
1
|
2,89
|
8,35
|
3
|
0,42
|
|
7
|
20
|
2
|
4
|
4,89
|
23,90
|
2
|
0,28
|
|
8
|
23
|
3
|
9
|
7,89
|
62,23
|
3
|
0,42
|
|
9
|
26
|
4
|
16
|
10,89
|
118,57
|
3
|
0,42
|
|
Сумма
|
45
|
136
|
0
|
60
|
0
|
416,89
|
|
|
|
Среднее
|
5
|
15,11
|
|
|
|
|
|
|
Все
полученные значения сравнили с табличными значениями, не
превышает их, то есть, аномальных наблюдений нет.
2) Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК (- расчетные, смоделированные значения
временного ряда).
Для этого воспользуемся Анализом данных в Excel
(рис. 4.2).
Рис 4.1
Результат
регрессионного анализа содержится в таблице 4.2 и 4.3.
Таблица 4.2
|
|
Коэффициенты
|
Стандартная ошибка
|
t-статистика
|
|
Y-пересечение а0
|
1,944
|
0,249
|
7,810
|
|
t a1
|
2,633
|
0,044
|
59,516
|
Во втором столбце табл. 4.3 содержатся
коэффициенты уравнения регрессии а0, а1, в третьем
столбце – стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом –
t
– статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения
регрессии.
Уравнение регрессии зависимости (спрос на кредитные ресурсы) от (время) имеет вид (рис.
4.5).
Таблица 4.3
Вывод остатков
|
ВЫВОД ОСТАТКА
|
|
|
|
Наблюдение
|
Предсказанное Y
|
Остатки
|
|
1
|
4,58
|
0,42
|
|
2
|
7,21
|
-0,21
|
|
3
|
9,84
|
0,16
|
|
4
|
12,48
|
-0,48
|
|
5
|
15,11
|
-0,11
|
|
6
|
17,74
|
0,26
|
|
7
|
20,38
|
-0,38
|
|
8
|
23,01
|
-0,01
|
|
9
|
25,64
|
0,36
|
Рис. 4.4
3) Оценить адекватность построенных моделей,
используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и
соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия
взять табулированные границы 2,7—3,7).
Модель является адекватной, если математическое
ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному
закону распределения.
3.1. Проверим независимость (отсутствие
автокорреляции) с помощью d –
критерия Дарбина – Уотсона по формуле:
Таблица 4.2
|
Наблюдение
|
|
|
|
|
|
|
1
|
0,42
|
0,18
|
-
|
-
|
-
|
|
2
|
-0,21
|
0,04
|
-0,63
|
0,42
|
0,18
|
|
3
|
0,16
|
0,02
|
0,37
|
-0,21
|
0,04
|
|
4
|
-0,48
|
0,23
|
-0,63
|
0,16
|
0,02
|
|
5
|
-0,11
|
0,01
|
0,37
|
-0,48
|
0,23
|
|
6
|
0,26
|
0,07
|
0,37
|
-0,11
|
0,01
|
|
7
|
-0,38
|
0,14
|
-0,63
|
0,26
|
0,07
|
|
8
|
-0,01
|
0,00
|
0,37
|
-0,38
|
0,14
|
|
9
|
0,36
|
0,13
|
0,37
|
-0,01
|
0,00
|
|
Сумма
|
0,00
|
0,82
|
|
|
0,70
|
,
Т.к. расчетное значение d
попадает в интервал от 0 до d1,
т.е. в интервал от 0 до 1,08, то свойство независимости не выполняется,
уровни ряда остатков содержат автокорреляцию. Следовательно, модель по этому
критерию неадекватна.
3.2. Проверку случайности уровней ряда остатков
проведем на основе критерия поворотных точек. P > [2/3(n-2) – 1, 96 √
(16n-29)/90]
Количество поворотных точек равно 6 (рис.4.5).
Рис.
4.5
Неравенство выполняется (6 > 2).
Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию
адекватна.
3.3. Соответствие ряда остатков нормальному
закону распределения определим при помощи RS – критерия:
, где
- максимальный уровень ряда остатков,
- минимальный уровень ряда остатков,
- среднеквадратическое отклонение,
,
Расчетное значение попадает в интервал
(2,7-3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения.
Модель по этому критерию адекватна.
3.4. Проверка равенства нулю математического
ожидания уровней ряда остатков.
В нашем случае , поэтому гипотеза о равенстве математического
ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.
В таблице 4.3 собраны данные анализа ряда
остатков.
Таблица 4.3
|
Проверяемое свойство
|
Используемые статистики
|
Граница
|
Вывод
|
|
наименование
|
значение
|
нижняя
|
верхняя
|
|
Независимость
|
d-критерий
|
0,85
|
1,08
|
1,36
|
неадекватна
|
|
Случайность
|
Критерий поворотных точек
|
6>2
|
2
|
адекватна
|
|
Нормальность
|
RS-критерий
|
2,81
|
2,7
|
3,7
|
адекватна
|
|
Среднее=0?
|
t-статистика Стьюдента
|
0
|
-2,179
|
2,179
|
адекватна
|
|
Вывод: модель статистики неадекватна
|
4) Оценить точность модели на основе
использования средней относительной ошибки аппроксимации.
Для оценки точности полученной модели будем
использовать показатель относительной ошибки аппроксимации, который вычисляется
по формуле:
, где
Расчет относительной ошибки аппроксимации
Таблица 4.4
|
t
|
Y
|
Предсказанное Y
|
|
|
|
1
|
5
|
4,58
|
0,42
|
0,08
|
|
2
|
7
|
7,21
|
-0,21
|
0,03
|
|
3
|
10
|
9,84
|
0,16
|
0,02
|
|
4
|
12
|
12,48
|
-0,48
|
0,04
|
|
5
|
15
|
15,11
|
-0,11
|
0,01
|
|
6
|
18
|
17,74
|
0,26
|
0,01
|
|
7
|
20
|
20,38
|
-0,38
|
0,02
|
|
8
|
23
|
23,01
|
-0,01
|
0,00
|
|
9
|
26
|
25,64
|
0,36
|
0,01
|
|
Сумма
|
45
|
136
|
|
0,00
|
0,23
|
|
Среднее
|
5
|
15,11
|
|
|
|
Если ошибка, вычисленная по формуле, не
превосходит 15%, точность модели считается приемлемой.
5) По построенной модели
осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал
прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
Воспользуемся функцией Excel СТЬЮДРАСПОБР. (рис. 4.10)
t = 1,12
Рис. 4.6
Для построения интервального
прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости , следовательно, доверительная вероятность
равна 70 %, а критерий Стьюдента при равен 1,12.
Ширину доверительного интервала вычислим по
формуле:
, где
(находим из таблицы 4.1)
,
.
Вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза
(таб. 4.11).
Таблица 4.5
Таблица прогноза
|
n +k
|
U (k)
|
Прогноз
|
Формула
|
Верхняя граница
|
Нижняя граница
|
|
10
|
U(1) =0.84
|
28.24
|
Прогноз + U(1)
|
29.сен
|
27.40
|
|
11
|
U(2) =1.02
|
30.87
|
Прогноз - U(2)
|
31.89
|
29.85
|
6) Фактические значения показателя, результаты
моделирования и прогнозирования представить графически.
Преобразуем график подбора (рис. 4.5), дополнив
его данными прогноза.
Рис. 4.7
Страницы: 1, 2, 3
|
© 2009 Все права защищены.
Наверх