Меню
Поиск



рефераты скачать Разработка теории радиогеохимического эффекта

Тогда через элемент площади  входит или выходит количество массы сплошной среды , где – вектор потока массы.

Через всю поверхность войдет или выйдет количество массы

(2.3)

Будем предполагать, что источники и стоки отсутствуют, тогда закон сохранения массы запишется в виде:

(2.4)

В (2.4) знак минус в правой части объясняется тем, что если  образует с  острый угол, т.е., то  проходит через  изнутри наружу, т.е. масса в  убывает.

(2.5)


Уравнение (2.5) – уравнение неразрывности для массы в интегральной форме.

Проведем в первом интеграле (2.5) дифференцирование по  как по параметру (поскольку  не зависит от ), т.е. внесем производную под знак интеграла и заменим ее частной производную, поскольку подынтегральная функция  зависит от переменной интегрирования, получим:

(2.6)


Второй интеграл в равенстве (2.5) преобразуем в объемный, воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса. Получим

(2.7)

где



Подставим (2.6), (2.7) в (2.5), и объединяя интегралы получим

(2.8)


Учитывая в (2.8) произвольность объема , получаем

(2.9)


Уравнение (2.9)– уравнение неразрывности для массы в дифференциальной форме.


2.2. Закон Фика

Закон Фика необходим для описания диффузии растворенного(радиоактивного) вещества пропорциональной градиенту их плотности. Плотность радиоактивных примесей является функцией от химического потенциала  

В уравнении (2.9) предыдущего параграфа вектор потока имеет вид

(*)

где  – конвекционная компонента вектора потока, связанная с потоком вещества (массы). Для случая, когда движение массы происходит только за счет конвекции, поток записывается в виде

(2.10)


– диффузионная компонента, возникает при наличии в системе градиента концентрации. Для диффузионного компонента справедлив I Закон Фика:

(2.10*)


 – коэффициент концентрационной диффузии, (далее  будем опускать).

Диффузионный поток пропорционален градиенту плотности, взятому с обратным знаком.

Подставим (2.10) и (2.10*) в (*), получим

(2.11)

Подставим (2.11) в (2.9), получим

(2.12)


В (2.12) каждое слагаемое записали отдельно:





Преобразуем второе слагаемое в (2.12):

(2.13)

Во втором слагаемом в (2.13) осуществим круговую перестановку (знак не меняется, т.к. скалярное произведение).

Из выражения (2.13), получим

(2.14)

Преобразуем второе слагаемое в (2.12):


Условие не сжимаемости жидкости:

(2.15)

Подставив (2.14) и (2.15) в (2.12) получим

(2.16)

Если в (2.16) то получим уравнение диффузии (II Закон Фика):

(2.17)

2.3. Уравнение конвективной диффузии


Пусть имеется раствор с плотностью растворителя  и плотностью растворенного вещества –, тогда плотность раствора запишется в виде

(2.18)

 Запишем уравнение неразрывности для растворителя:

(2.19)

Диффузию не учитываем, потому что в жидкостях коэффициент диффузии мал.

Будем считать, что растворитель является несжимаемым, т.е.  не зависит от пространственных координат и

(2.20)

Тогда из выражения (2.19), получим

(2.21)

Запишем уравнение неразрывности для раствора:

(2.22)

В (2.22) подставим (2.18), получим


Учитывая (2.20), (2.21) и независимость  от пространственных координат, получим

(2.23)

Опустим штрих, предполагая в дальнейшем  – плотность примеси.

(2.24)

Поясним в (2.24) значение каждого слагаемое:

Первое слагаемое  описывает изменение массового содержания в рассматриваемой точке;

Второе слагаемое  отвечает за конвекцию;

Третье слагаемое  отвечает за диффузию.

Физический смысл уравнения (2.24) заключается в следующем: изменение концентрации, со временем, в рассматриваемой точке происходит за счет конвекции и диффузии.

На практике в (2.24) слагаемым  можно пренебречь, в силу его малости.


2.4. Метод характеристик


Пусть движение несущей жидкости происходит вдоль оси , тогда уравнение без диффузионной конвекции запишется

.

(1)


Одномерное уравнение без диффузионной конвекции (или конвекционное уравнение).

 

Задача Коши для уравнения (1).

Требуется найти функцию , где  и удовлетворяющую условиям:

(2)

Получим решение задачи методом характеристик.

Метод характеристик заключается в переходе от эйлеровых переменных  и  к лагранжевым. Связь производных в эйлеровых и лагранжевых координатах записывается в виде:

.

(3)

Уравнение (1) таким образом можно записать как систему двух уравнений:

(4)


(5)

где уравнение (4) – уравнение для характеристик.

Из (5) следует, что , где  некоторая постоянная. Но т.к. , то .

Из (4) получаем

.

(6)

Равенство (6) – решение уравнений характеристик.

Интегральные линии уравнения (4) на мировой плоскости ,, т.е. графики движения частиц при заданной скорости , называются характеристиками уравнения (1).

Пусть при , , т.е.

;


.

(7)

Подставляя (7) в (2), получим

.

(8)

Для того, чтобы получить решение задачи Коши нужно решить систему двух уравнений:

,

(9)

.

(10)

Подставим уравнение (10) в (9), получим

.

(11)

Выражение (11) является решением задачи Коши для уравнения (1).

Решение (11) представляет собой волну бегущую вправо со скоростью .

Начально-краевая задача для уравнения (1) (смешанная задача)

,,,

(1)

.

(2)

.

(3)

Рис.4.


На рисунке 4 изображены характеристики уравнения (1), где при  начальное условие, а при  граничное условие,  граничная характеристика.

Для задачи Коши решенной ранее,

   

О

 а)

 

О

 б)

 Рис. 5

 (или ) (см. рис. 5) и влиять будет только начальное условие .

 Если  (), то будет влиять только граничное условие .

Получим решение для граничного решения.

(5)

Запишем уравнения (1) в виде

(6)


(7)

Из (6) следует, что , где .

Учитывая (3) получим .

Интегрируя (7) получаем

.

(8)

Пусть при ,  тогда

(9)

Разделим обе части (9) на  получим

.

(10)

При ,

.

(11)

Подставляя (11) в (3) получаем

.


Тогда решая систему


получаем решение граничной задачи в виде

.

(12)

В (12) .

Решение начально-краевой задачи будет иметь вид

,


где , единичная функция Хевисайда.

Решение задачи Коши для неоднородного конвекционного уравнения



Построим формулу Даламбера для уравнения

, ,

(1)

Уравнение (1) – уравнение эволюции локального параметра.

.

(2)

Тогда уравнение (1) запишем в виде системы двух уравнений:

(3)


(4)

Интегрируя (4), получим

(5)

Пусть при , , тогда

.


Подставим (5) в (3), получим

.


,

(6)

,

(7)

.

(8)


Исключим в (6)  для этого учтем начальное условие (7).

,


.

(9)


Подставим (9) в (6), получим

,


.

(10)


Исключим в (10)  и , потом :

.

(11)

Выражение (11) – формула Даламбера (решение задачи Коши для неоднородного конвекционного уравнения).

Покажем что (11) является решением (1).

Продифференцируем формулу (11) по , получим

.

(12)

Продифференцируем формулу (11) по , получим

.

(13)

Подставляя (13) и (12) в (1), получаем

.


Откуда получаем тождество: . Следовательно, выражение (11) является решением уравнения (1).



Начально-краевая задача для неоднородного конвективного уравнения

, ,

(1)

.

(2)

.

(3)

Найдем решение граничной задачи для неоднородного конвекционного уравнения (1).

Решение будем искать в виде дифференцируя которое по  , получим

.


Умножая правую и левую части на , приходим к выражению

.

(4)

Перепишем уравнение (1) в виде двух уравнений:

(5)


(6)

Из (6) следует, что . Пусть при , , тогда .

Откуда получим

.

(7)

Подставим уравнение (7) в уравнение (5), получим

.


(8)


(9)


(10)

Исключим в (8)  , для этого учтем граничное условие (9).


.


Подставим (11) в (8), получим

(12)

Исключим в (12) ,  и  получим

.


,

(13)

Выражение (13) – формула Даламбера (решение граничной задачи для неоднородного конвекционного уравнения (1)).

Покажем, что (13) является решением (1). Для этого продифференцируем формулу (13) по , получим

Страницы: 1, 2, 3




Новости
Мои настройки


   рефераты скачать  Наверх  рефераты скачать  

© 2009 Все права защищены.