3.      Составляются уравнения по I закону Кирхгофа. Их число равно:

    (1)

где Ny – число узлов;

Nн – число источников напряжений, если они расположены между узлами, не имеющими сопротивлений.

4.      Составляется уравнение по II закону Кирхгофа:

 (2)

где NB – число ветвей, Ny – число узлов;

NT – число источников тока, если они расположены между узлами, не имеющими проводимостей.

При составлении уравнений по II закону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры, т.е. не содержащие источников тока.

Выбирается направление обхода контуров (произвольно).

При записи левой части равенства ЭДС, направления которых совпадают с выбранными направлениями обхода (независимо от направления тока, протекающего через них), принимаются положительными, а ЭДС, направленные против выбранного обхода, - отрицательными.

При записи правой части равенства со знаком «плюс» берутся падения напряжения в тех ветвях, в которых выбранное положительное направление тока совпадает с направлением обхода (независимо от направления ЭДС в этих ветвях), и со знаком «минус», падения напряжения в тех ветвях, в которых положительное направление тока противоположно направлению обхода.

Решение:

КI = Ny – 1 – Nн = 4 – 1 – 0 = 3

Выбираем (·)a, (·)b, (·)c.

(·)a: I3 – I1 = 0

(·)b: I4 – I2 – I3 = 0

(·)c: I6 + I1 – I4 = 0

KII = NB – (Ny – 1) – NT = 6 – (4 – 1) – 0 = 3

R3 I3 + R1 I1 + R4 I4 = E1  (I)

R1 I1 – R5 I5 – R6 I6 = E1  (II)

R2 I2 + R6 I6 + R4 I4  (III)

Вторым законом Кирхгофа можно пользоваться для определения напряжения между двумя произвольными точками схемы. В этом случае необходимо ввести в левую часть уравнений исходное напряжение вдоль пути, как бы дополняющего незамкнутый контур до замкнутого. Например, для определения напряжения Umn можно написать уравнение для контура mncb или nmbc:

Umn + I4 R4 + I3 R3  = E1  или  - I3 R3 – Umn – I4 R4 = - E1

откуда легко можно найти искомое напряжение (необходимо при рассмотрении метода узловых потенциалов)

Анализ линейных электрических цепей при гармонических воздействиях.

Гармоническое возмущение – ток, напряжение или ЭДС, меняющиеся по гармоническому закону, записываются:

i(t) = Imsin(ωt + Ψi);

u(t) = Umsin(ωt + Ψu);

e(t) = Emsin(ωt + Ψe).

Im, Um, Em – амплитуды;

(ωt + Ψ) – фазы;

Ψ – начальные фазы этих величин.

Их действующие значения равны:

Амперметры и вольтметры, предназначенные для измерения тока, напряжения и ЭДС, меняющихся по гармоническому закону, градуированы в действующих значениях измеряемых величин.

Мы будем изучать методы анализа установившихся режимов линейных электрических цепей, составленных активными сопротивлениями, индуктивностями и ёмкостями при гармонических воздействиях. Сложность расчёта таких цепей обусловлена тем обстоятельством, что напряжения на индуктивностях и ёмкостях сдвинуты по фазе относительно токов через них протекающих.

Прежде всего, рассмотрим основные соотношения в линейных пассивных элементах цепи при гармоническом воздействии.

Активное сопротивление.

u = Umsinωt

Индуктивный элемент.

i = Im sinωt

Емкостной элемент.

u = Um sinωt

Анализ последовательной цепи переменного тока

Мы показали, что при заданном токе напряжения пассивных элементов будут следующими:

Все рассмотренные элементы объединим в последовательную цепь; ток в ней известен. Определим параметры мгновенного значения ЭДС.

Неизвестная ЭДС также будет иметь вид гармонической функции.

 -

Данное выражение представляет собой уравнение для электрической цепи, записанное по II закону Кирхгофа (для установившегося режима).

Полагая, в частности, ωt = π/2 и ωt = 0, получим RIm = Umcosφ; (ωL – 1/ωC)Im = Umsinφ.

Возведя первое и второе равенства в квадрат и сложив, получим:

[R2 + (ωL – 1/ωC)] Im2 = Um2

Откуда находим связь между амплитудами тока и напряжения:

Если в той же последовательной цепи заданной будет ЭДС: e = Emsinωt, то i = Imsin(ωt – φ).

Полученные соотношения можно использовать для расчёта мгновенных значений напряжения и тока в последовательной цепи, питаемой от источника гармонической ЭДС.

Рассмотрим несколько примеров.

Задана ЭДС.

Необходимо определить i(t), uR(t), uL(t), uC(t)

Задано uC (t)

Анализ параллельной цепи переменного тока

При заданном гармоническом напряжении, ток в каждом элементе электрической цепи будет следующим:

Объединим эти элементы в параллельную цепь и зададим ЭДС источника. Неизвестный ток этого источника найдём в виде  i=Im sin(ωt – φ)

Y – полная проводимость электрической цепи;

g – активная проводимость;

bL – bC – реактивная проводимость.

Напряжения, сопротивления и проводимости  R, L, C  при синусоидальном токе  i = Im sinωt

Таблица. Описание элементов R, L, C в комплексной форме.

Основные формулы для расчёта цепей с последовательным и параллельным соединением элементов R, L, C

Цель работы – исследование электрической цепи с последовательным соединением элементов R, L, C при различных соотношениях индуктивного и емкостного сопротивлений.

Общие сведения

В работе сначала определяются параметры катушки методом амперметра, вольтметра и ваттметра при питании напряжения частоты f1 = 50 Гц.

Схема для определения параметров катушки показана на рис. 1

Рис. 1

По изменённым значениям тока IK, напряжения UK и мощности PK можно определить полное, активное и индуктивное сопротивления катушки по формулам

,    ,    ,                      (1)

а также индуктивность и сдвиг по фазе между напряжением и током

;                                                        (2)

- угловая частота.

При последовательном соединении элементов R, L, C полное сопротивление цепи определяется выражением

                                                                                          (3)

где R – активное сопротивление цепи;

x – реактивное сопротивление цепи.

Реактивное сопротивление цепи при этом определяется выражением

                                                                                                (4)

где xL = ωL – индуктивное сопротивление цепи;

xC = 1/ωC – емкостное сопротивление цепи.

Действующее значение тока в цепи определяется выражением

                                                                                                    (5)

где U – действующее значение напряжения на зажимах цепи.

При последовательном соединении R, L и C при определённых значениях xL и xC имеет место явление, называемое резонансом напряжения.

Резонансом напряжений называется такое состояние электрической цепи при последовательном соединении элементов R, L, C (рис. 2), когда сдвиг по фазе между напряжением на зажимах цепи и током в ней равен нулю, при этом xL = xC [1,2].

Напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током и равно

                  (6)

Напряжение на емкости отстаёт от тока по фазе на 900

             (7)

Напряжение на индуктивности опережает ток на 900

                                                                               (8)

Средняя мощность, расходуемая в цепи, определяется по формуле

                                                                                                      (9)

Сдвиг фаз между напряжением на зажимах цепи и током в ней определяется выражениями:

;  ;                                      (10)     

При резонансе cosφ = 1, а ток в цепи достигает максимального значения.

Если катушка индуктивности L имеет собственное сопротивление RL, то падение напряжения на ней равно

                                                                                    (11)

При этом полное активное сопротивление цепи будет равно сумме внешнего сопротивления R1 и собственного сопротивления катушки RL

Векторная диаграмма напряжений и тока в цепи при индуктивном характере нагрузок показана на рис. 3.

При резонансе φ = 0, и, следовательно, xL = xC. При постоянных L и C это равенство имеет место на резонансной частоте

 или   (12)

Резонансное значение тока в цепи

                                          (13)

Рис. 3

Напряжение на активном сопротивлении R при резонансе равно напряжению источника питания.

                                                                                                     (14)

Напряжение на емкости и на индуктивности при резонансе равны между собой

                                                                                    (15)

где - добротность контура;

- волновое или характеристическое сопротивление контура.

Средняя мощность при резонансе

                                                                                         (16)

Векторная диаграмма напряжений и токов при резонансе напряжений показана на рис. 4. Настроить цепь в резонансе с частотой источника питания можно также изменением индуктивности на ёмкости. Графики изменений тока в цепи, сдвига фаз и напряжений на элементах схемы при изменении частоты источника питания называются амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристиками контура и показаны на рис. 5.

                              Рис. 4                                                                           Рис. 5

Частотные характеристики могут быть построены по уравнениям (3) ÷ (12). Из выражения (5) следует

                 (17)

Максимумы UL  и UC достигаются при частотах, отличных от резонансной частоты ωР. UL max наступает при частоте , а UC max – при частоте

Частотная характеристика тока позволяет экспериментально определить добротность контура.

Если определить полосу частот , пропускаемых контуром на уровне , то добротность контура может быть найдена из выражения

                                                                      (18)

На границах полосы пропускания сдвиг фаз между напряжением на зажимах цепи и током в ней составляет φ = ± 450.

Содержание работы

1.      Определение параметров катушки индуктивности методом амперметра, вольтметра и ваттметра при питании напряжением частоты 50 Гц.

2.      Исследование электрической цепи с последовательным соединением резистора, катушки индуктивности и конденсатора при различных соотношениях индуктивного и емкостного сопротивлений.

Описание лабораторной установки

Схема экспериментальной установки для исследования электрической цепи с последовательным соединением элементов R, L, C представлена на рис. 6.

Рис. 6

В её состав входят ЛАТР (лабораторный автотрансформатор), на выходных клеммах которого устанавливается напряжение U = 40 В.

Вольтметр V1 предназначен для измерения действующего значения напряжения, прикладываемого к электрической цепи; соответственно измеряет действующие значения напряжения на элементах R, L, C.

Амперметр А измеряет действующее значение тока в цепи. В качестве R1 используется реостат (Rреост = 30 Ом, 5 А), емкости С – магазин емкостей
(С = 1 мкФ ÷ 20 мкФ), индуктивности L – катушка индуктивности (с параметрами L и RL, определяемыми экспериментально).

Цель работы – исследование электрической цепи с параллельным соединением элементов R, L, C при различных соотношениях индуктивного и емкостного сопротивлений.

Общие сведения

При параллельном соединении элементов  R, L, C (рис. 1) полная проводимость равна                                                                                                     (1)

где g = 1/R – активная проводимость цепи;

b – реактивная проводимость цепи.

Реактивная проводимость цепи при этом определяется выражением
(2)

                             Рис. 1

Ток в цепи определяется выражением

                                                                                                         (3)

Ток в активной проводимости совпадает с напряжением по фазе

                                                                                                      (4)

Ток в ёмкости определяет напряжение по фазе на 900

                                                                                                    (5)

Ток в индуктивности отстаёт от напряжения по фазе на 900

                                                                                                     (6)

Средняя активность мощность, расходуемая в цепи

                                                                                                    (7)

Сдвиг фаз между напряжением U на зажимах цепи и током I в ней определяется выражениями

                                                                                                   (8)

                                                                                                    (9)

Векторная диаграмма напряжения и токов в цепи показана на рис. 2 (при bC > bL).

Резонансом токов называется такое состояние электрической цепи при параллельном включении элементов R, L, C, когда сдвиг по фазе между напряжением на зажимах цепи и током в ней равны нулю, при этом bC = bL, а ток в неразветвлённой цепи имеет наименьшее значение.

При постоянных значениях L и C резонансная частота определяется выражением

                            Рис. 2

                                                                                          (11)

Резонансное значение тока в цепи

                                                                                                      (12)

Ток в активной проводимости при резонансе равен полному току

                                                                                                      (13)

Токи в ёмкости и индуктивности при резонансе равны между собой

                                                                                      (14)

где - добротность контура;

- волновая и характеристическая проводимость контура.

Средняя мощность при резонансе

                                                                                         (15)

Векторная диаграмма напряжения и токов при резонансе токов показана на рис. 3.

Настроить цепь в резонанс с частотой источника питания можно изменением индуктивности или ёмкости, а также с помощью изменения частоты источника питания.

Графики изменений токов цепи, сдвига фаз и напряжения на зажимах цепи при изменении частоты источника питания называются частотными характеристиками контура и показаны на рис. 4.

                    Рис. 3                                                                              Рис. 4

Частотные характеристики контура могут быть построены по уравнениям (3), (4), (5), (8), (9), (10).

Частотная характеристика тока позволяет определить экспериментально добротность контура

                                                                  (16)

Если определить полосу пропускания частот , пропускаемых контуром на уровне , то добротность контура можно найти из выражения

                                                                                            (17)

На границе полосы пропускания сдвиг фаз между напряжением на зажимах цепи и током в ней составляет φ = ± 450. Если катушка индуктивности L имеет собственное активное сопротивление (рис. 5), то ток в ней определяется выражением

                                                                                (18)

Вычислив эквивалентные проводимости катушки

        (19)

                        Рис. 5

перейдём к эквивалентной схеме с параллельным соединением R, L, C.

Полная активная проводимость эквивалентного параллельного контура равна сумме внешней проводимости и собственной активной проводимости gK катушки L

                                                                            (20)

Эквивалентная индуктивность такого контура

                                                                                              (21)

Резонансная частота контура будет зависеть от собственного сопротивления RK катушки L

                                                                  (22)

При относительно малом сопротивлении катушки RK >> ωL можно пользоваться выражениями (11) – (17).

Содержание работы

Исследование электрической цепи с параллельным соединением резистора, катушки индуктивности и конденсатора при различных соотношениях индуктивного и ёмкостного сопротивлений.

Описание лабораторной установки

Схема экспериментальной установки для исследования электрической цепи  с параллельным соединением элементов R, L, C представлена на рис. 6.

Рис. 6

В её состав входят ЛАТР (лабораторный автотрансформатор), на входных клеммах которого устанавливают напряжение U = 20 В.

Вольтметр V предназначен для измерения действующего значения напряжения, прикладываемого к электрической цепи. Амперметр А1 измеряет действующее значение тока в неразветвлённой части цепи, амперметры А2,  А3, А4 измеряют действующие значения токов соответственно в резисторе (А2), конденсаторе (А3), катушке индуктивности (А4). В качестве резисторной нагрузки используется реостат (R1 = 300 Ом, 0,5 А), ёмкости С – магазин конденсаторов (С = 1 Мкф ÷ 20 Мкф), индуктивность L – катушка индуктивности (L = 50 мГн, RK = 30 Ом).

Информационно-методическое обеспечение дисциплины:

1. Нейман Л.Р., Дениргян К.С. ТОЭ. Т1, Т2. - М.: Высшая школа, 1981.
2. Бессанов Л.А. ТОЭ. Т1, Т2, Т3. - М.: Высшая школа, 1984.
3. Ионкин П.А. и др. ТОЭ. Т1. - М.: Высшая школа 1981.
4. Основы теории цепей /Г.В. Зевенс, П.А. Ионкин, А.В. Нетушин, С.В. Страхов/ М.: Высшая школа, 1989.
5. Матхомов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи. – М.: Высшая школа, 1990.
6. Матхамов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи. – М.: Высшая школа, 1990.
7. Сборник задач и упражнений по ТОЭ под ред. П.А. Ионкина. – М.: Энергоиздат, 1982.
8. Шебес М.Р. Задачник по теории линейных электрических цепей. – М.: Высшая школа, 1989.
9. Задачник по ТОЭ– М.: Энергия, 1975.

Страницы: 1, 2