Метод А.Ф. Смирнова для определения критических нагрузок в стержневых системах

МЕТОД А.Ф.СМИРНОВА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК В СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ

1.     ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ

1)Нагрузка приложена только в узлах стержневой системы и до потери устойчивости не вызывает изгиба стержней.

2)Материал работает в упругой стадии.

3)Перемещения при потере устойчивости малы по сравнению с размерами конструкции

4)При определении перемещений учитываются продольные силы только в тех стержнях,в которых они возникали до потери устойчивости.

Примечание: Если критические нагрузки определяются в статически неопределимой системе, то ее статическая неопределимость раскрывается методом сил.

Основная система выбирается в момент потери устойчивости .

Основная система-это статически определимая и геометрически неизменяемая система, полученная из заданной путем удаления лишних связей в деформированном состоянии.

Основную систему рекомендуется выбирать таким образом, чтобы сжато-изогнутые элементы не имели смещений вдоль своих осей.

1.2.Алгоритм расчета по методу А.Ф.Смирнова

Рассмотрим упругую систему, загруженную узловыми нагрузками.

В момент потери устойчивости система характеризуется наличием сжато-изогнутых и изогнутых элементов.

Деформированное состояние системы характеризуется вектором отклонений Y, имеющим размер(m×1):

              Y1

              Y2

              Y3

     =   ...

(m×1)    ...

              Yn  ,

где m-число ненулевых координат вектора отклонений ,которые задаются только для сжато-изогнутых стержней.

Вектор отклонений можно определить по формуле Мора ,которая в матричной форме имеет вид

 (1.1)

При определении перемещений система разбивается на участки. В пределах каждого участка намечаются расчетные сечения по концам каждого участка и в тех точках сжато-изогнутых стержней, перемещение которых подлежит определению.

Обозначим : μ-число расчетных сечений

Для составления My необходимо в основной системе построить эпюры моментов от единичных сил приложенных в направлении искомых перемещений Y1,Y2,Y3...Yn.

Матрица Му имеет размер(μ×m)

         Эпюра       Эпюра    Эпюра   …      Эпюра

=

(μ×m)

G-размером (μ×μ)-матрица податливости всей системы.

Она формируется из матриц податливости отдельных участков.

Мр- матрица-столбец, элементами которой являются ординаты эпюр изгибающих моментов на тот период времени, когда заданная система находится в  критическом состоянии.

Для статически-неопределимых систем при определении Мр используется  матричный алгоритм метода сил:

  (1.2),

где   (1.3)-матрица ,раскрывающая статическую неопределимость системы.

 Если заданная система статически определимая ,то матрица  превращается  в единичную матрицу (μ×μ):    

=Е  (1.4)

Структура матрицы

         Эпюра       Эпюра    Эпюра   …      Эпюра

=

(μ×m)

-матрица столбец, элементами которой являются ординаты эпюры моментов ,построенной от действия внешних узловых сил в основной системе ,с учетом ее деформированного состояния.

Ординаты эп.  зависят от вектора перемещений  y

Получим матрицу  в виде:

  (1.5),

где: H-числовая матрица размером (μ×m),преобразующая вектор отклонений у в эпюру моментов грузового состояния

Тогда    (1.6)

Подставляя (1.6) в (1.1) получим вектор перемещений

  (1.7)

Обозначим : =k∙c    (1.8),

Где k-общий множитель ,полученный из множителей при перемножаемым матрицах Н и G

Тогда:  или ,обозначим  (1.9),

где :λ-собственное число матрицы ;-собственный  вектор матрицы

Преобразуем (1.9)

  (1.10)-УРАВНЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДА СМИРНОВА,

где ;.

Выражение (1.10) представляет собой систему однородных уравнений относительно  ,где матрица  составлена из коэффициентов при неизвестных  Y1,Y2,Y3...YN.

Уравнение устойчивости (1.10) имеет два решения

1) Вектор перемещений  равен 0

              Y1           0

              Y2          0

Y3         0

     =   ...     =  ...         (1.11)-начальная форма равновесия

              ... ...

              Yn       0

2) Определитель ,составленный из коэффициентов при неизвестных  равен 0.

=0  (1.12)-характеристическое уравнение

Если раскрыть определитель,то получим  уравнение m10 порядка,где неизвестным будет λ.

Решение этого уравнения дает значения λ,λ1,λ2,λ3…λm.

Минимальное значение Ркр  составляет λmax ()

minPкр=      (1.13),

где -наибольшее собственное число характеристической матрицы .

Собственный вектор характеристической матрицы  дает форму потери устойчивости.

2.ПОРЯДОК РАСЧЕТА СИСТЕМ НА УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТОДОМ А.Ф.СМИРНОВА

1.Заданная система изображается в критическом деформированном состоянии.

Выявляются сжато-изогнутые и изогнутые элементы, назначается число ненулевых координат вектора отклонений для сжато-изогнутых элементов.

2.Ось системы разбивается на участки .Назначаются расчетные сечения  и правило знаков для  эпюр изгибающих моментов .

3.Определяется степень статической неопределимости n и, если n>0 выбирается основная система метода сил.

4.Формируются необходимые матрицы .

5.Вычисляется характеристическая матрица

,

где -для статически неопределимых систем;

=Е-для статически определимых систем

6.Решается  характеристическое уравнение =0  →

7.Определяется значение критической нагрузки:

minPкр=

3.ФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТИ ДЛЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ РАСЧЕТЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

Матрица податливости всей системы формируется из матриц податливости отдельных участков  и имеет следующую структуру

                              0

             G=              Gk

          (μ×μ)                          Gk-матрица податливости участка k

Вид матрицы Gk зависит от типа участка (какую деформацию он испытывает).

1)Участок ,испытывающий только изгиб

G,

где : l0-длина любого участка ,принятого за основной

         B0-жесткость любого участка ,принятого за основную

;

2)Участки ,испытывающие деформацию сжатие с изгибом. Для такого участка  вид матрицы Gk зависит от того ,на сколько панелей разбита его длина

а)Длина участка разбита на две панели:

-длина участка

-длина панели

;

б)Длина участка разбита на три панели:

;;

в)Длина участка разбита на четыре и более панелей:

В этом случае общая длина сжато-изогнутого элемента компонуется из подучастков с двумя или тремя панелями. Соответственно и компонуется матрица податливости.

                                 GΙ

                                    Gk =          GΙ Ι

4.ФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ H

Матрица H-числовая матрица размером (μ×m), преобразующая вектор перемещений  в эпюру моментов грузового состояния.

;

Для построения матрицы H необходимо определить изгибающие моменты во всех расчетных сечениях основной системы от узловых нагрузок и построить эпюру М0

Эпюра М0 строится со стороны растянутых волокон с учетом деформированного состояния системы.

М0=

В матрицу H вписываются коэффициенты при перемещениях из каждого уравнения.

5.РЕШЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Существует несколько методов решения характеристического уравнения . Все методы делятся на две группы:

1)Первая –позволяет вычислить все собственные числа( метод Крылова-Лузина и др.)

2)Вторая –позволяет вычислить наибольшее собственное число(и соответственно наименьшее значение критической нагрузки)

К этой группе относится метод последовательных приближений

 Метод итераций позволяет вычислить наибольшее собственное число характеристической матрицы .Вместе с определением собственного числа одновременно производится определение собственного вектора, соответствующего этому числу и удовлетворяющего равенству:

,

где -характеристическая матрица

-для статически неопределимых систем

=Е- для статически определимых

- собственное число характеристической матрицы

-собственный  вектор матрицы

Порядок решения:

1)Задаемся приближенным вектором перемещений -первое приближение;

2)Вычисляется: ,

где -второе приближение собственного вектора; -первое приближение собственного числа.

Вектор  следует сделать нормированным ,т.е. его наибольшую координату надо вынести за знак матрицы в виде множителя .

3)Далее вновь подсчитывается :

 и т.д.

4)Повторение процесса продолжается до тех пор ,пока значения координат векторов двух последних приближений не совпадут.

Величина найденная в последнем приближении принимается за искомое

6.ПРИМЕР.

Определить критическую силу методом А.Ф.Смирнова

;=Е- т.к. система статически определима

 =;;

;

;

;

=0

=0

=108,62

у=

minPкр=;