Изображение токов и напряжений комплексными числами

Изображения токов и напряжений комплексными числами

Рассмотрим мгновенное значение тока .

Покажем, что вращающийся вектор на комплексной плоскости соответствует этому току.

Вектор, изображённый на комплексной плоскости, записывается аналитически –

- формула Эйлера,

где

- оператор поворота на угол a

- оператор вращения со скоростью ω.

Следовательно

Произведение обозначается и называется комплексной амплитудой тока. Аналогично мгновенные значения напряжения и ЭДС будут –

Здесь и комплексные амплитуды напряжения и ЭДС.

В расчёте можно оперировать и действующими значениями величин –

;    ;    .

Символический метод, основанный на изображении векторов комплексными числами введён Штейнмецом, у нас развит ?????????.

Связь комплексных амплитуд тока и напряжения в пассивных элементах электрической цепи

Законы Кирхгофа для токов и напряжений, представленных комплексными амплитудами

Теперь объединим рассмотренные элементы в последовательную цепь с заданным током. Тогда ЭДС, приложенная к этой цепи, будет –

Это соотношение представляет собой второй закон Кирхгофа для комплексных амплитуд напряжения и тока.

Соединяя те же элементы в параллельную цепь с известной ЭДС, определяем ток источника –

Полученное равенство представляет собой первый закон Кирхгофа для комплексных амплитуд напряжения и тока.

Законы Кирхгофа в комплексной форме записи представлены алгебраическими уравнениями, поэтому для расчёта цепей переменного тока методом комплексных амплитуд можно применять все методы обоснованные ранее – метод контурных токов, узловых потенциалов, наложения и эквивалентного генератора.

Расчёт цепи переменного тока так же, как и расчёт цепи постоянного тока, иногда удаётся значительно упростить, применив преобразование соединения трёхлучевой звезды в соединение треугольник и наоборот.

Ввиду особой важности этого преобразования, весьма часто применяемого при расчёте трёхфазных цепей, приведём формулы для перехода от одного вида преобразования к другому и наоборот.