| 3 | 0011 | 3h | 2 | 0010 | 2h |

|------------+----------+-------------------+------------+----------+-------------------|

| 4 | 0100 | 4h | 6 | 0110 | 6h |

|------------+----------+-------------------+------------+----------+-------------------|

| 5 | 0101 | 5h | 7 | 0111 | 7h |

|------------+----------+-------------------+------------+----------+-------------------|

| 6 | 0110 | 6h | 5 | 0101 | 5h |

|------------+----------+-------------------+------------+----------+-------------------|

| 7 | 0111 | 7h | 4 | 0100 | 4h |

|------------+----------+-------------------+------------+----------+-------------------|

| 8 | 1000 | 8h | 12 | 1100 | Ch |

|------------+----------+-------------------+------------+----------+-------------------|

| 9 | 1001 | 9h | 13 | 1101 | Dh |

|------------+----------+-------------------+------------+----------+-------------------|

| 10 | 1010 | Ah | 15 | 1111 | Fh |

|------------+----------+-------------------+------------+----------+-------------------|

| 11 | 1011 | Bh | 14 | 1110 | Eh |

|------------+----------+-------------------+------------+----------+-------------------|

| 12 | 1100 | Ch | 10 | 1010 | Ah |

|------------+----------+-------------------+------------+----------+-------------------|

| 13 | 1101 | Dh | 11 | 1011 | Bh |

|------------+----------+-------------------+------------+----------+-------------------|

| 14 | 1110 | Eh | 9 | 1001 | 9h |

|------------+----------+-------------------+------------+----------+-------------------|

| 15 | 1111 | Fh | 8 | 1000 | 8h |

+---------------------------------------------------------------------------------------+

Таблица 1. Соответствие десятичных кодов и кодов Грея.

Таким образом, при кодировании целочисленного признака мы разбиваем его на

тетрады и каждую тетраду преобразуем по коду Грея.

В практических реализациях генетических алгоритмов обычно не возникает

необходимости преобразовывать значения признака в значение гена. На

практике имеет место обратная задача, когда по значению гена необходимо

определить значение соответствующего ему признака.

Таким образом, задача декодирования значения генов, которым соответствуют

целочисленные признаки, тривиальна.

Кодирование признаков, которым соответствуют числа с плавающей точкой

Самый простой способ кодирования, который лежит на поверхности -

использовать битовое представление. Хотя такой вариант имеет те же

недостатки, что и для целых чисел. Поэтому на практике обычно применяют

следующую последовательность действий:

1. Разбивают весь интервал допустимых значений признака на участки с

требуемой точностью.

2. Принимают значение гена как целочисленное число, определяющее номер

интервала (используя код Грея).

3. В качестве значения параметра принимают число, являющиеся серединой

этого интервала.

Рассмотрим вышеописанную последовательность действий на примере:

Допустим, что значения признака лежат в интервале [0,1]. При кодировании

использовалось разбиение участка на 256 интервалов. Для кодирования их

номера нам потребуется таким образом 8 бит. Допустим значение гена:

00100101bG (заглавная буква G показывает, что используется кодирование по

коду Грея). Для начала, используя код Грея, найдем соответствующий ему

номер интервала: 0x01 graphic

. Теперь посмотрим, какой интервал ему соответствует… После несложных

подсчетов получаем интервал 0x01 graphic

. Значит значение нашего параметра будет 0x01 graphic

.

Основные генетические операторы

Как известно в теории эволюции важную роль играет то, каким образом

признаки родителей передаются потомкам. В генетических алгоритмах за

передачу признаков родителей потомкам отвечает оператор, который

называется скрещивание (его также называют кроссовер или кроссинговер).

Этот оператор определяет передачу признаков родителей потомкам. Действует

он следующим образом:

1. из популяции выбираются две особи, которые будут родителями;

2. определяется (обычно случайным образом) точка разрыва;

3. потомок определяется как конкатенация части первого и второго

родителя.

Рассмотрим функционирование этого оператора:

+---------------------------+

| Хромосома_1: | 0000000000 |

|--------------+------------|

| Хромосома_2: | 1111111111 |

+---------------------------+

Допустим разрыв происходит после 3-го бита хромосомы, тогда

+------------------------------------------------------------------------------+

| Хромосома_1: | 0000000000 | >> | 000 | 1111111 |  Результирующая_хромосома_1 |

|--------------+------------+----+-----+---------+-----------------------------|

| Хромосома_2: | 1111111111 | >> | 111 | 0000000 |  Результирующая_хромосома_2 |

+------------------------------------------------------------------------------+

Затем с вероятностью 0,5 определяется одна из результирующих хромосом в

качестве потомка.

Следующий генетический оператор предназначен для того, чтобы поддерживать

разнообразие особей с популяции. Он называется оператором мутации. При

использовании данного оператора каждый бит в хромосоме с определенной

вероятностью инвертируется.

Кроме того, используется еще и так называемый оператор инверсии, который

заключается в том, что хромосома делится на две части, и затем они

меняются местами. Схематически это можно представить следующим образом:

+------------------------------------+

| 000 | 1111111 | >> | 1111111 | 000 |

+------------------------------------+

В принципе для функционирования генетического алгоритма достаточно этих

двух генетических операторов, но на практике применяют еще и некоторые

дополнительные операторы или модификации этих двух операторов. Например,

кроссовер может быть не одноточечный (как было описано выше), а

многоточечный, когда формируется несколько точек разрыва (чаще всего две).

Кроме того, в некоторых реализациях алгоритма оператор мутации

представляет собой инверсию только одного случайно выбранного бита

хромосомы.

Схема функционирования генетического алгоритма

Теперь, зная как интерпретировать значения генов, перейдем к описанию

функционирования генетического алгоритма. Рассмотрим схему

функционирования генетического алгоритма в его классическом варианте.

1. Инициировать начальный момент времени 0x01 graphic

. Случайным образом сформировать начальную популяцию, состоящую из k

особей.

0x01 graphic

2. Вычислить приспособленность каждой особи 0x01 graphic

и популяции в целом 0x01 graphic

(также иногда называемую термином фиттнес). Значение этой функции

определяет насколько хорошо подходит особь, описанная данной

хромосомой, для решения задачи.

3. Выбрать особь 0x01 graphic

из популяции. 0x01 graphic

4. С определенной вероятностью (вероятностью кроссовера 0x01 graphic

) выбрать вторую особь из популяции 0x01 graphic

и произвести оператор кроссовера 0x01 graphic

.

5. С определенной вероятностью (вероятностью мутации 0x01 graphic

) выполнить оператор мутации. 0x01 graphic

.

6. С определенной вероятностью (вероятностью инверсии 0x01 graphic

) выполнить оператор инверсии 0x01 graphic

.

7. Поместить полученную хромосому в новую популяцию 0x01 graphic

.

8. Выполнить операции, начиная с пункта 3, k раз.

9. Увеличить номер текущей эпохи 0x01 graphic

.

10. Если выполнилось условие останова, то завершить работу, иначе переход

на шаг 2.

Теперь рассмотрим подробнее отдельные этапы алгоритма.

Наибольшую роль в успешном функционировании алгоритма играет этап отбора

родительских хромосом на шагах 3 и 4. При этом возможны различные

варианты. Наиболее часто используется метод отбора, называемый рулеткой.

При использовании такого метода вероятность выбора хромосомы определяется

ее приспособленностью, то есть 0x01 graphic

. Использование этого метода приводит к тому, что вероятность передачи

признаков более приспособленными особями потомкам возрастает. Другой часто

используемый метод - турнирный отбор. Он заключается в том, что случайно

выбирается несколько особей из популяции (обычно 2) и победителем

выбирается особь с наибольшей приспособленностью. Кроме того, в некоторых

реализациях алгоритма применяется так называемая стратегия элитизма,

которая заключается в том, что особи с наибольшей приспособленностью

гарантировано переходят в новую популяцию. Использование элитизма обычно

позволяет ускорить сходимость генетического алгоритма. Недостаток

использования стратегии элитизма в том, что повышается вероятность

попадания алгоритма в локальный минимум.

Другой важный момент - определение критериев останова. Обычно в качестве

них применяются или ограничение на максимальное число эпох

функционирования алгоритма, или определение его сходимости, обычно путем

сравнивания приспособленности популяции на нескольких эпохах и остановки

при стабилизации этого параметра.

3. Непрерывные генетические алгоритмы.

Фиксированная длина хромосомы и кодирование строк двоичным алфавитом

преобладали в теории генетических алгоритмов с момента начала ее развития,

когда были получены теоретические результаты о целесообразности

использования именно двоичного алфавита. К тому же, реализация такого

генетического алгоритма на ЭВМ была сравнительно легкой. Все же, небольшая

группа исследователей шла по пути применения в генетических алгоритмах

отличных от двоичных алфавитов для решения частных прикладных задач. Одной

из таких задач является нахождение решений, представленных в форме

вещественных чисел, что называется не иначе как «поисковая оптимизация в

непрерывных пространствах». Возникла следующая идея: решение в хромосоме

представлять напрямую в виде набора вещественных чисел. Естественно, что

потребовались специальные реализации биологических операторов. Такой тип

генетического алгоритма получил название непрерывного генетического

алгоритма (RGA, или real-coded genetic algorithm), или генетического

алгоритма с вещественным кодированием.

Первоначально непрерывные гены стали использоваться в специфических

приложениях (например, хемометрика, оптимальный подбор параметров

операторов стандартных генетических алгоритмов и др.). Позднее они

начинают применяться для решения других задач оптимизации в непрерывных

пространствах (работы исследователей Wright, Davis, Michalewicz, Eshelman,

Herrera в 1991-1995 гг). Поскольку до 1991 теоретических обоснований

работы непрерывных генетических алгоритмов не существовало, использование

этого нового подвида было спорным; ученые, знакомые с фундаментальной

теорией эволюционных вычислений, в которой было доказано превосходство

двоичного алфавита перед другими, критически воспринимали успехи

алгоритмов с вещественным кодированием. После того, как спустя некоторое

время теоретическое обоснование появилось, непрерывные генетические

алгоритмы полностью вытеснили двоичные хромосомы при поиске в непрерывных

пространствах.

Преимущества и недостатки двоичного кодирования

Прежде чем излагать особенности математического аппарата непрерывных

генетических алгоритмов, остановимся на анализе достоинств и недостатков

двоичной схем кодирования.

Как известно, высокая эффективность отыскания глобального минимума или

максимума генетическим алгоритмом с двоичным кодированием теоретически

обоснована в фундаментальной теореме генетических алгоритмов («теореме о

шаблоне»), доказанной Холландом. Ее суть в том, что двоичный алфавит

позволяет обрабатывать максимальное количество информации по сравнению с

другими схемами кодирования.

Однако двоичное представление хромосом влечет за собой определенные

трудности при поиске в непрерывных пространствах большой размерности, и

когда требуется высокая точность найденного решения. В генетических

алгоритмах с двоичным кодированием для преобразования генотипа в фенотип

используется специальный прием, основанный на том, что весь интервал

допустимых значений признака объекта 0x01 graphic

разбивается на участки с требуемой точностью. Заданная точность p

определяется выражением

0x01 graphic

где N - количество разрядов для кодирования битовой строки.

Эта формула показывает, что p сильно зависит от N, т.е. точность

представления определяется количеством разрядов, используемых для

кодирования одной хромосомы. Поэтому при увеличении N пространство поиска

расширяется и становится огромным.

Известный книжный пример: пусть для 100 переменных, изменяющихся в

интервале 0x01 graphic

, требуется найти экстремум с точностью до шестого знака после запятой. В

этом случае при использовании генетических алгоритмов с двоичным

кодированием длина строки составит 3000 элементов, а пространство поиска -

около 0x01 graphic

хромосом.

Эффективность генетических алгоритмов с двоичным кодированием в этом

случае будет невысокой. На первых итерациях алгоритм потратит много усилий

на оценку младших разрядов числа, закодированных во фрагменте двоичной

хромосомы. Но оптимальное значение на первых итерациях будет зависеть от

старших разрядов числа. Следовательно, пока в процессе эволюции алгоритм

не выйдет на значение старшего разряда в окрестности оптимума, операции с

младшими разрядами окажутся бесполезными. С другой стороны, когда это

произойдет, станут не нужны операции со старшими разрядами - необходимо

улучшать точность решения поиском в младших разрядах. Такое «идеальное»

поведение не обеспечивает семейство генетических алгоритмов с двоичным

кодированием, т.к. эти алгоритмы оперируют битовой строкой целиком, и на

первых же эпохах младшие разряды чисел "застывают", принимая случайное

значение. В классических генетических алгоритмах разработаны специальные

приемы по выходу из этой ситуации. Например, последовательный запуск

ансамбля генетических алгоритмов с постепенным сужением пространства

поиска.

Есть и другая проблема: при увеличении длины битовой строки необходимо

увеличивать и численность популяции.

Математический аппарат непрерывных генетических алгоритмов

Как уже отмечалось, при работе с оптимизационными задачами в непрерывных

пространствах вполне естественно представлять гены напрямую вещественными

числами. В этом случае хромосома есть вектор вещественных чисел. Их

точность будет определяться исключительно разрядной сеткой той ЭВМ, на

которой реализуется real-coded алгоритм. Длина хромосомы будет совпадать с

длиной вектора-решения оптимизационной задачи, иначе говоря, каждый ген

будет отвечать за одну переменную. Генотип объекта становится идентичным

его фенотипу.

Вышесказанное определяет список основных преимуществ алгоритмов с

непрерывными генами:

1. Использование непрерывных генов делает возможным поиск в больших

пространствах (даже в неизвестных), что трудно делать в случае

двоичных генов, когда увеличение пространства поиска сокращает

точность решения при неизменной длине хромосомы.

2. Одной из важных черт непрерывных генетических алгоритмов является их

способность к локальной настройке решений.

3. Использование непрерывных генетических алгоритмов для представления

решений удобно, поскольку близко к постановке большинства прикладных

задач. Кроме того, отсутствие операций кодирования/декодирования,

которые необходимы в генетических алгоритмах с двоичным кодированием,

повышает скорость работы алгоритма.

Как известно, появление новых особей в популяции канонического

генетического алгоритма обеспечивают несколько биологических операторов:

отбор, скрещивание и мутация. В качестве операторов отбора особей в

родительскую пару здесь подходят любые известные из двоичных генетических

алгоритмов: рулетка, турнирный, случайный. Однако операторы скрещивания и

мутации не годятся: в классических реализациях они работают с битовыми

строками. Нужны собственные реализации, учитывающие специфику real-coded

алгоритмов.

Оператор скрещивания непрерывного генетического алгоритма, или кроссовер,

порождает одного или нескольких потомков от двух хромосом. Собственно

говоря, требуется из двух векторов вещественных чисел получить новые

векторы по каким-либо законам. Большинство real-coded алгоритмов

генерируют новые векторы в окрестности родительских пар. Для начала

рассмотрим простые и популярные кроссоверы.

Пусть 0x01 graphic

и 0x01 graphic

- две хромосомы, выбранные оператором селекции для скрещивания. После

формулы для некоторых кроссоверов приводится рисунок - геометрическая

интерпретация его работы. Предполагается, что 0x01 graphic

и 0x01 graphic

.

* Плоский кроссовер (flat crossover): создается потомок 0x01 graphic

- случайное число из интервала 0x01 graphic

.

* Простейший кроссовер (simple crossover): случайным образом выбирается

число k из интервала 0x01 graphic

и генерируются два потомка 0x01 graphic

и 0x01 graphic

.

* Арифметический кроссовер (arithmetical crossover): создаются два

потомка 0x01 graphic

, 0x01 graphic

, где 0x01 graphic

, 0x01 graphic

, 0x01 graphic

, w либо константа (равномерный арифметический кроссовер) из интервала

0x01 graphic

, либо изменяется с увеличением эпох (неравномерный арифметический

кроссовер).

0x01 graphic

* Геометрический кроссовер (geometrical crossover): создаются два

потомка 0x01 graphic

, 0x01 graphic

, где 0x01 graphic

, 0x01 graphic

, w - случайное число из интервала 0x01 graphic

.

0x01 graphic

* Смешанный кроссовер (blend, BLX-alpha crossover): генерируется один

потомок 0x01 graphic

, где 0x01 graphic

- случайное число из интервала 0x01 graphic

, 0x01 graphic

, 0x01 graphic

, 0x01 graphic

. BLX-0.0 кроссовер превращается в плоский.

0x01 graphic

* Линейный кроссовер (linear crossover): создаются три потомка 0x01

graphic

, 0x01 graphic

, где 0x01 graphic

, 0x01 graphic

, 0x01 graphic

. На этапе селекции в этом кроссовере отбираются два наиболее сильных

потомка.

0x01 graphic

* Дискретный кроссовер (discrete crossover): каждый ген 0x01 graphic

выбирается случайно по равномерному закону из конечного множества 0x01

graphic

.

0x01 graphic

* Расширенный линейчатый кроссовер (extended line crossover): ген 0x01

graphic

, w - случайное число из интервала 0x01 graphic

.

0x01 graphic

* Эвристический кроссовер (Wright's heuristic crossover). Пусть 0x01

graphic

- один из двух родителей с лучшей приспособленностью. Тогда 0x01

graphic

, w - случайное число из интервала 0x01 graphic

.

0x01 graphic

Нечеткий кроссовер (fuzzy recombination, FR-d crossover): создаются два

потомка 0x01 graphic

, 0x01 graphic

. Вероятность того, что в i-том гене появится число 0x01 graphic

, задается распределением 0x01 graphic

, где 0x01 graphic

- распределения вероятностей треугольной формы (треугольные нечеткие

функции принадлежности) со следующими свойствами 0x01 graphic

( 0x01 graphic

и 0x01 graphic

):

+----------------------------------------------+

| Распределение |Минимум | Центр |Максимум|

| вероятностей | | | |

|-------------------+--------+--------+--------|

|0x01 graphic |0x01 |0x01 |0x01 |

| |graphic |graphic |graphic |

|-------------------+--------+--------+--------|

|0x01 graphic |0x01 |0x01 |0x01 |

| |graphic |graphic |graphic |

+----------------------------------------------+

Параметр d определяет степень перекрытия треугольных функций

принадлежности, по умолчанию 0x01 graphic

.

0x01 graphic

В качестве оператора мутации наибольшее распространение получили:

случайная и неравномерная мутация (random and non-uniform mutation).

При случайной мутации ген, подлежащий изменению, принимает случайное

значение из интервала своего изменения. В неравномерной мутации значение

гена после оператора мутации рассчитывается по формуле:

0x01 graphic

Сложно сказать, что более эффективно в каждом конкретном случае, но

многочисленные исследования доказывают, что непрерывные генетические

алгоритмы не менее эффективно, а часто гораздо эффективнее справляются с

задачами оптимизации в многомерных пространствах, при этом более просты в

реализации из-за отсутствия процедур кодирования и декодирования хромосом.

Рассмотренные кроссоверы исторически были предложены первыми, однако во

многих задачах их эффективность оказывается невысокой. Исключение

составляет BLX-кроссовер с параметром 0x01 graphic

- он превосходит по эффективности большинство простых кроссоверов. Позднее

были разработаны улучшенные операторы скрещивания, аналитическая формула

которых и эффективность обоснованы теоретически. Рассмотрим подробнее один

из таких кроссоверов - SBX.

SBX (англ.: Simulated Binary Crossover) - кроссовер, имитирующий двоичный.

Был разработан в 1995 году исследовательской группой под руководством K.

Deb'а. Как следует из его названия, этот кроссовер моделирует принципы

работы двоичного оператора скрещивания.

SBX кроссовер был получен следующим способом. У двоичного кроссовера было

обнаружено важное свойство - среднее значение функции приспособленности

оставалось неизменным у родителей и их потомков, полученных путем

скрещивания. Затем автором было введено понятие силы поиска кроссовера

(search power). Это количественная величина, характеризующая распределение

вероятностей появления любого потомка от двух произвольных родителей.

Первоначально была рассчитана сила поиска для одноточечного двоичного

кроссовера, а затем был разработан вещественный SBX кроссовер с такой же

силой поиска. В нем сила поиска характеризуется распределением

вероятностей случайной величины 0x01 graphic

:

0x01 graphic

Для генерации потомков используется следующий алгоритм, использующий

выражение для 0x01 graphic

. Создаются два потомка 0x01 graphic

, 0x01 graphic

, где 0x01 graphic

, 0x01 graphic

- число, полученное по формуле:

0x01 graphic

В формуле 0x01 graphic

- случайное число, распределенное по равномерному закону, 0x01 graphic

- параметр кроссовера.

На рисунке приведена геометрическая интерпретация работы SBX кроссовера

при скрещивании двух хромосом, соответствующих вещественным числам 2 и 5.

Видно, как параметр n влияет на конечный результат: увеличение n влечет за

собой увеличение вероятности появления потомка в окрестности родителя и

наоборот.

0x01 graphic

Эксперименты автора SBX кроссовера показали, что он во многих случаях

эффективнее BLX, хотя, очевидно, что не существует ни одного кроссовера,

эффективного во всех случаях. Исследования показывают, что использование

нескольких различных операторов кроссовера позволяет уменьшить вероятность

преждевременной сходимости, т.е. улучшить эффективность алгоритма

оптимизации в целом. Для этого могут использоваться специальные стратегии,

изменяющие вероятность применения отдельного эволюционного оператора в

зависимости от его «успешности», или использование гибридных кроссоверов,

которых в настоящее время насчитывается несколько десятков. В любом

случае, если перед Вами стоит задача оптимизации в непрерывных

пространствах, и Вы планируете применить эволюционные техники, то следует

сделать выбор в пользу непрерывного генетического алгоритма.

4. Заключение

За последние годы объёмы экономической информации возросли в несколько

раз, и это является дополнительным стимулом для многих учёных, работающих

в области анализа данных, теории информации и теории алгоритмов,

заниматься генетическими алгоритмами.

Очевидно, этим объясняется появление статей по данной теме и на русском

языке (на других языках уже опубликовано 9000 работ). Правда, стоит

отметить, что пока многие публикации частично (в большей или меньшей

степени) повторяют друг друга и может создаться ложное представление о

том, что теория генетических алгоритмов и, в частности, такая её часть,

как непрерывные генетические алгоритмы, - тема узкая и исчерпываемая

двадцатью страницами данной работы. На самом же деле есть не только

теория, но и практика генетических алгоритмов. В настоящее время известно

о существовании более пятисот программных продуктов, в том или ином виде

использующих генетические алгоритмы для решения оптимизационных и

прогностических задача.

Также стоит отметить, что талантливые программисты создали популярную

игру, базирующуюся на наработках теории генетических алгоритмов, которая

называется «Амёбы: Борьба видов» (http://amebas.ru). Суть игры заключается

в том, что каждый игрок «выращивает» на своём компьютере колонию амёб.

Каждая амёба имеет свой генотип и ведёт борьбу за выживание. В каждом

поколении в ходе сражений часть из них остаётся в проигрыше и не получает

возможности размножаться. По ходу развития (с каждым следующим поколением)

амёбы накапливают в себе всё больше и больше генетической информации. Раз

в некоторое время проводятся Интернет-турниры, на которые каждый игрок

выставляет свою лучшую амёбу. В игре учитываются разные возможности

скрещивания, возможность направить отбор в том или ином направлении,

регулировка количества и силы мутаций и прочие настройки.

В заключение можно сказать, что мои прогнозы развития генетических

алгоритмов являются очень оптимистичными по двум причинам:

1. С повышением вычислительной мощности ЭВМ (не исключено, что после

перехода на квантовые или молекулярные компьютеры) станет возможным

моделировать при помощи генетических алгоритмов всё более и более

сложные ситуации.

2. Не исключено, что учёные, работающие в области классической теории

алгоритмов, найдут решение одной из NP-полных задач, и тогда окажутся

решаемыми все алгоритмы, относящиеся к сложности NP.

5. Список использованной литературы.

1. «АНАЛИТИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ для прогнозирования и анализа данных», 2005.

«НейроПроект»

2. http://www.gotai.ru

3. http://basegroup.ru

4. http://ru.wikipedia.org

Гамильтоновым циклом в графе называют простой цикл, содержащий все вершины

графа ровно по одному разу. По материалам Википедии - свободной

энциклопедии.

NP-полные задачи — это класс задач, лежащих в классе NP, то есть для

которых пока не найдено быстрых алгоритмов решения, но проверка того,

является ли данное решение правильным, проходит быстро. По материалам

Википедии - свободной энциклопедии.

3

Страницы: 1, 2